Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе . Синус угла, который равен 
, обозначается символом 
, читается: «синус альфа».
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе . Косинус угла, который равен , обозначается символом 
, читается: «косинус альфа».
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету . Тангенс угла, который равен , обозначается символом 
, читается: «тангенс альфа».
(1)
(2)
(3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим:
(4)
Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Дано: 
АВС, А1В1С1, 
С = С1 = 90 0 , А = А1.
Доказать: sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.
Доказательство:
АВС 
А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С1 = 90 0 , А = А1). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:
Из этих равенств следует, что 
т.е. sin A = sin A1. Аналогично 
, т.е. cos A = cos A1, и 
, т.е. tg A = tg A1, что и требовалось доказать.
Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.
Докажем основное тригонометрическое тождество:
Из формул (1) и (2) получаем
По теореме Пифагора 
, поэтому 
.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
- Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | − |
| − | 0 |
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы затронем изучение одного из важнейших разделов математики – тригонометрии. Тригонометрия является своеобразным мостиком между алгеброй и геометрией, поскольку в одинаковой степени важна и там, и там. На этом уроке мы начнём «строительство» этого мостика со стороны геометрии, то есть именно из того раздела математики, где впервые возникла задача, которая и привела к появлению тригонометрии. Чуть позже мы расширим понятие тригонометрических функций, а в старших классах узнаем об их «алгебраических корнях». Мы введём понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, изучим связь между этими величинами и докажем основное тригонометрическое тождество.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:
💡 Видео
8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№21 - Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.)Скачать
Урок СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
68. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Тригонометрия: Как запомнить? + ПОЛУЧИ ПОДАРОК от Ольги АлександровныСкачать
Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Косинус острого угла прямоугольного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Геометрия 8. Урок 11- Синус, Косинус, Тангенс и Котангенс угла в прямоугольном треугольнике.Скачать
Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.Скачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать
Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольникеСкачать
0604 Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Геометрия 8 класс : Решение задач на sin, cos и tg острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Вариант 8, № 1. Косинус острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
КАК НАЙТИ КОСИНУС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ЗАДАЧА | ГЕОМЕТРИЯ 8 классСкачать
