Что такое отрезки касательной к окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Что такое отрезки касательной к окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Что такое отрезки касательной к окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Что такое отрезки касательной к окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Что такое отрезки касательной к окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Что такое отрезки касательной к окружностиТеорема о бабочке

Что такое отрезки касательной к окружности

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧто такое отрезки касательной к окружности
КругЧто такое отрезки касательной к окружности
РадиусЧто такое отрезки касательной к окружности
ХордаЧто такое отрезки касательной к окружности
ДиаметрЧто такое отрезки касательной к окружности
КасательнаяЧто такое отрезки касательной к окружности
СекущаяЧто такое отрезки касательной к окружности
Окружность
Что такое отрезки касательной к окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧто такое отрезки касательной к окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧто такое отрезки касательной к окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧто такое отрезки касательной к окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧто такое отрезки касательной к окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧто такое отрезки касательной к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧто такое отрезки касательной к окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧто такое отрезки касательной к окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧто такое отрезки касательной к окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧто такое отрезки касательной к окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧто такое отрезки касательной к окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧто такое отрезки касательной к окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Что такое отрезки касательной к окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧто такое отрезки касательной к окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧто такое отрезки касательной к окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧто такое отрезки касательной к окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧто такое отрезки касательной к окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧто такое отрезки касательной к окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧто такое отрезки касательной к окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое отрезки касательной к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧто такое отрезки касательной к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧто такое отрезки касательной к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧто такое отрезки касательной к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧто такое отрезки касательной к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое отрезки касательной к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Пересекающиеся хорды
Что такое отрезки касательной к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Что такое отрезки касательной к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Что такое отрезки касательной к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Что такое отрезки касательной к окружности
Пересекающиеся хорды
Что такое отрезки касательной к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое отрезки касательной к окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Тогда справедливо равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Что такое отрезки касательной к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Что такое отрезки касательной к окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Касательная к окружности

Что такое отрезки касательной к окружности

О чем эта статья:

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Что такое отрезки касательной к окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Что такое отрезки касательной к окружности

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Что такое отрезки касательной к окружности

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Что такое отрезки касательной к окружности

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Что такое отрезки касательной к окружности

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Что такое отрезки касательной к окружности

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Что такое отрезки касательной к окружности

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Что такое отрезки касательной к окружности

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Что такое отрезки касательной к окружности

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Что такое отрезки касательной к окружности

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Что такое отрезки касательной к окружности

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Что такое отрезки касательной к окружности

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Что такое отрезки касательной к окружности

. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Что такое отрезки касательной к окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Что такое отрезки касательной к окружности

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Что такое отрезки касательной к окружности

Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Что такое отрезки касательной к окружности

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Что такое отрезки касательной к окружности

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

🌟 Видео

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Доказательство теоремы об отрезках касательных.Скачать

Доказательство теоремы об отрезках касательных.

Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | ИнфоурокСкачать

Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | Инфоурок

Касательная к окружностиСкачать

Касательная к окружности

Геометрия 8 класс : Касательная к окружностиСкачать

Геометрия 8 класс : Касательная к окружности

Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрияСкачать

Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрия
Поделиться или сохранить к себе: