Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.
Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).
При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.
∠1 и ∠2
∠3 и ∠4
— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.
Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.
Свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.
Если a ∥ b, то
∠1 + ∠2 = 180º
(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).
Признак параллельных прямых
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
∠3 + ∠4 =180º
А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,
то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).
Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?
Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.
∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c
∠1 = ∠2
тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
| Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8. |  |
| Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5. |  |
| Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7. |  |
| Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6. |  |
| Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8. |  |
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,