Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Содержание
  1. Прямоугольник
  2. Особое свойство прямоугольника
  3. Доказательство
  4. Теорема
  5. Доказательство
  6. Теорема
  7. Доказательство
  8. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), B (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3);
  9. Ваш ответ
  10. решение вопроса
  11. Похожие вопросы
  12. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  13. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  14. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  15. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  16. Параллелограмм
  17. Параллелограмм и его свойства
  18. Признаки параллелограмма
  19. Прямоугольник
  20. Признак прямоугольника
  21. Ромб и квадрат
  22. Свойства ромба
  23. Трапеция
  24. Средняя линия треугольника
  25. Средняя линия трапеции
  26. Координаты середины отрезка
  27. Теорема Пифагора
  28. Справочный материал по четырёхугольнику
  29. Пример №1
  30. Признаки параллелограмма
  31. Пример №2 (признак параллелограмма).
  32. Прямоугольник
  33. Пример №3 (признак прямоугольника).
  34. Ромб. Квадрат
  35. Пример №4 (признак ромба)
  36. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  37. Пример №5
  38. Пример №6
  39. Трапеция
  40. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  41. Центральные и вписанные углы
  42. Пример №8
  43. Вписанные и описанные четырёхугольники
  44. Пример №9
  45. Пример №10
  46. 🔍 Видео

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

ABCD — прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим Что четырехугольник abcd является прямоугольникомABD иЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомACB: ABCD — прямоугольник, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомА и Что четырехугольник abcd является прямоугольникомB — прямые, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомABD иЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомACBпрямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомABD =Что четырехугольник abcd является прямоугольникомACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим Что четырехугольник abcd является прямоугольникомABD иЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомABD =Что четырехугольник abcd является прямоугольникомACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомA = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомB. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомC и Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомD, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомA = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомC = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомD (1). Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA + Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ + Что четырехугольник abcd является прямоугольникомC + Что четырехугольник abcd является прямоугольникомD = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомC = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомD = 90 0 , Что четырехугольник abcd является прямоугольникомABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA = 90 0

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA + Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = 180 0 , Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = 180 0 Что четырехугольник abcd является прямоугольникомA = 180 0 90 0 = 90 0

Противолежащие углы параллелограмма равны, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольникомA = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомC = 90 0 и Что четырехугольник abcd является прямоугольникомВ = Что четырехугольник abcd является прямоугольникомD = 90 0

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), Что четырехугольник abcd является прямоугольникомABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), B (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3);

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Ваш ответ

Видео:Какой четырехугольник называется прямоугольником. Геометрия 8 класс. Глава 5Скачать

Какой четырехугольник называется прямоугольником. Геометрия 8 класс. Глава 5

решение вопроса

Видео:Четырехугольник ABCD. Свойства. Диагональ. Геометрия 8 класс. Глава 5.Скачать

Четырехугольник ABCD. Свойства. Диагональ. Геометрия 8 класс. Глава 5.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,652
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник Определение прямоугольникаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник  Определение прямоугольника

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Видео:Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Что четырехугольник abcd является прямоугольникомуглы Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляются внешними.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Что четырехугольник abcd является прямоугольникомГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Что четырехугольник abcd является прямоугольникомДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Что четырехугольник abcd является прямоугольникомто параллелограмм Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляется ромбом.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство теоремы 1.

Дано: Что четырехугольник abcd является прямоугольникомромб.

Докажите, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство (словестное): По определению ромба Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Что четырехугольник abcd является прямоугольникомравнобедренный. Медиана Что четырехугольник abcd является прямоугольником(так как Что четырехугольник abcd является прямоугольником), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТак как Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляется прямым углом, то Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Аналогичным образом можно доказать, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

План доказательства теоремы 2

Дано: Что четырехугольник abcd является прямоугольникомравнобедренная трапеция. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Докажите: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Что четырехугольник abcd является прямоугольникомтогда Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпроведем параллельную прямую к прямой Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Что четырехугольник abcd является прямоугольникомчерез точку Что четырехугольник abcd является прямоугольником— середину стороны Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпроведите прямую параллельную Что четырехугольник abcd является прямоугольникомКакая фигура получилась? Является ли Что четырехугольник abcd является прямоугольникомтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Что четырехугольник abcd является прямоугольникомМожно ли утверждать, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Пусть дан треугольник Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми его средняя линия Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПроведём через точку Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпрямую параллельную стороне Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Что четырехугольник abcd является прямоугольникомт.е. совпадает со средней линией Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТ.е. средняя линия Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпараллельна стороне Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТеперь проведём среднюю линию Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТ.к. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомто четырёхугольник Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПо теореме Фалеса Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТогда Что четырехугольник abcd является прямоугольникомТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство: Через точку Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми точку Что четырехугольник abcd является прямоугольникомсередину Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Что четырехугольник abcd является прямоугольникомчерез Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Что четырехугольник abcd является прямоугольникомрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми точка Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкоторая является серединой отрезка Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольникомто Что четырехугольник abcd является прямоугольникома отсюда следует, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

2) По теореме Фалеса, если точка Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляется серединой отрезка Что четырехугольник abcd является прямоугольникомто на оси абсцисс точка Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

3) Координаты середины отрезка Что четырехугольник abcd является прямоугольникомс концами Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми Что четырехугольник abcd является прямоугольникомточки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомнаходятся так:

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Что четырехугольник abcd является прямоугольникомто, Что четырехугольник abcd является прямоугольником— прямоугольный.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Что четырехугольник abcd является прямоугольникомявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Что четырехугольник abcd является прямоугольникомтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

Прямоугольник. Что такое прямоугольник?

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольником

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Что четырехугольник abcd является прямоугольником, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Что четырехугольник abcd является прямоугольником=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Что четырехугольник abcd является прямоугольником+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Решение:

Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Что четырехугольник abcd является прямоугольником(АВ CD, ВС-секущая), Что четырехугольник abcd является прямоугольником(ВС || AD, CD — секущая), Что четырехугольник abcd является прямоугольником(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Что четырехугольник abcd является прямоугольником

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Что четырехугольник abcd является прямоугольником Что четырехугольник abcd является прямоугольникомУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Что четырехугольник abcd является прямоугольникомНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Что четырехугольник abcd является прямоугольникомНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Что четырехугольник abcd является прямоугольникомМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Что четырехугольник abcd является прямоугольником. По свойству углов четырёхугольника, Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Следовательно, Что четырехугольник abcd является прямоугольником: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо двум сторонами и углу между ними.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Что четырехугольник abcd является прямоугольником

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПри помощи циркуля сравните длины отрезков Что четырехугольник abcd является прямоугольникомСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Проведём через точки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпрямые Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпараллельные ВС. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпо условию, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак противоположные стороны параллелограммов Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Что четырехугольник abcd является прямоугольникомПроведём прямую Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Через точки Что четырехугольник abcd является прямоугольникомпроведём прямые, параллельные прямой Что четырехугольник abcd является прямоугольником. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Что четырехугольник abcd является прямоугольником, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Что четырехугольник abcd является прямоугольником. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Что четырехугольник abcd является прямоугольником. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольником. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЧто четырехугольник abcd является прямоугольником, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Что четырехугольник abcd является прямоугольником= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак вертикальные, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Что четырехугольник abcd является прямоугольникомравнобедренный. Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольникомсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольником

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Что четырехугольник abcd является прямоугольником— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Что четырехугольник abcd является прямоугольником. По свойству внешнего угла треугольника, Что четырехугольник abcd является прямоугольникомЧто четырехугольник abcd является прямоугольником— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольникомизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Из доказанного в первом случае следует, что Что четырехугольник abcd является прямоугольникомизмеряется половиной дуги AD, a Что четырехугольник abcd является прямоугольником— половиной дуги DC. Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольникомизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Что четырехугольник abcd является прямоугольникомкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Что четырехугольник abcd является прямоугольником, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Что четырехугольник abcd является прямоугольником(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Тогда Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Докажем, что Что четырехугольник abcd является прямоугольником. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Что четырехугольник abcd является прямоугольником. По свойству равнобокой трапеции, Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Тогда Что четырехугольник abcd является прямоугольникоми, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Что четырехугольник abcd является прямоугольникомцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Что четырехугольник abcd является прямоугольникомвписанного в окружность. Действительно,

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Следовательно, четырёхугольник Что четырехугольник abcd является прямоугольником— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Что четырехугольник abcd является прямоугольником

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

№399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.Скачать

№399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольникСкачать

Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольник

Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Прямоугольник. 8 класс.

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Квадрат является прямоугольником. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Квадрат является прямоугольником. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

8 класс, 7 урок, Прямоугольник

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 смСкачать

№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 см
Поделиться или сохранить к себе: