Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Методы решения задач о собственных
значениях и векторах матриц

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Постановка задачи

Пусть [math]A[/math] — действительная числовая квадратная матрица размера [math](ntimes n)[/math] . Ненулевой вектор [math]X= bigl(x_1,ldots,x_nbigr)^T[/math] размера [math](ntimes1)[/math] , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]lambda[/math] в равенстве (2.1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор [math]X[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]lambda[/math] .

Равенство (2.1) равносильно однородной относительно [math]X[/math] системе:

Система (2.2) имеет ненулевое решение для вектора [math]X[/math] (при известном [math]lambda[/math] ) при условии [math]|A-lambda E|=0[/math] . Это равенство есть характеристическое уравнение:

где [math]P_n(lambda)[/math] — характеристический многочлен n-й степени. Корни [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_n[/math] характеристического уравнения (2.3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы [math]A[/math] , а соответствующие каждому собственному значению [math]lambda_i,

i=1,ldots,n[/math] , ненулевые векторы [math]X^i[/math] , удовлетворяющие системе

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры.

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом
уровнях.

Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: [math]rho(A)= max_|lambda_i(A)|[/math] и [math]min_|lambda_i(A)|[/math] . Величина [math]rho(A)[/math] называется спектральным радиусом .

1. Если для собственного значения [math]lambda_i[/math] — найден собственный вектор [math]X^i[/math] , то вектор [math]mu X^i[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению [math]lambda_i[/math] .

2. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

3. Симметрическая матрица имеет полный спектр [math]lambda_i,

i=overline[/math] , действительных собственных значений; k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно [math]k[/math] линейно независимых собственных векторов.

4. Положительно определенная симметрическая матрица имеет полный спектр действительных положительных собственных значений.

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Метод непосредственного развертывания

Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка [math](nleqslant10)[/math] можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь

Уравнение [math]P_n(lambda)=0[/math] является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает [math]n[/math] , вообще говоря, комплексных собственных значений [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n[/math] , при которых [math]P_n(lambda_i)=0

(i=overline)[/math] . Для каждого [math]lambda_i[/math] может быть найдено решение однородной системы [math](A-lambda_iE)X^i=0,

i=overline[/math] . Эти решения [math]X^i[/math] , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему [math]n[/math] , вообще говоря, различных векторов n-мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Алгоритм метода непосредственного развертывания

1. Для заданной матрицы [math]A[/math] составить характеристическое уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|=0[/math] . Для развертывания детерминанта [math]|A-lambda E|[/math] можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы.

2. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения [math]lambda_1, lambda_2, ldots,lambda_n[/math] . Для этого можно применить методы, изложенные далее.

3. Для каждого собственного значения составить систему (2.4):

и найти собственные векторы [math]X^i[/math] .

Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель [math]|A-lambda_iE|[/math] системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: [math]operatorname(A-lambda_iE)=r и в системе имеется ровно [math]r[/math] независимых уравнений, а [math](n-r)[/math] уравнений являются зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные [math](n-r)[/math] неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные равными 0.

Пример 2.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]Ain mathbb^[/math] , где [math]A=begin3&-2\-4&1end[/math] .

1. Запишем уравнение (2.5): [math]|A-lambda E|= begin3-lambda&-2\-4& 1-lambda end= lambda^2-4 lambda-5=0[/math] , отсюда получаем характеристическое уравнение [math]P_2(lambda)equiv lambda^2-4 lambda-5=0[/math] .

2. Находим его корни (собственные значения): [math]lambda_1=5,

3. Составим систему [math](A-lambda_iE)X^i=0,

i=1,2[/math] , для каждого собственного
значения и найдем собственные векторы:

Отсюда [math]x_1^1=-x_2^1[/math] . Если [math]x_2^1=mu[/math] , то [math]x_1^1=-mu[/math] . В результате получаем [math]X^1= bigl^T= bigl^T[/math] .

Для [math]lambda_2=-1[/math] имеем

Отсюда [math]x_2^2=2x_1^2[/math] . Если [math]x_1^2=mu[/math] , то [math]x_2^2=2mu[/math] . В результате получаем [math]X^2= bigl^T= bigl^T[/math] , где [math]mu[/math] — произвольное действительное число.

Пример 2.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A= begin2&-1&1\-1&2&-1\0&0&1end[/math] .

1. Запишем характеристическое уравнение (2.5):

2. Корни характеристического уравнения: [math]lambda_=1[/math] (кратный корень), [math]lambda_3=3[/math] — собственные значения матрицы.

3. Найдем собственные векторы.

Для [math]lambda_=1[/math] запишем систему [math](A-lambda_E)cdot X^=0colon[/math]

Поскольку [math]operatorname(A-lambda_E)=1[/math] , в системе имеется одно независимое уравнение

x_3^=3[/math] , получаем [math]x_1^=1[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin1&1&0end^T[/math] .

x_3^=1[/math] , получаем [math]x_1^=-1[/math] и другой собственный вектор [math]X^2= begin-1&0&1end^T[/math] . Заметим, что оба собственных вектора линейно независимы.

Для собственного значения [math]lambda_3=3[/math] запишем систему [math](A-lambda_3E)cdot X^3=0colon[/math]

Поскольку [math]operatorname(A-lambda_3E)=2[/math] , то выбираем два уравнения:

x_1^3=-x_2^3[/math] . Полагая [math]x_2^3=1[/math] , получаем [math]x_1^3=-1[/math] и собственный вектор [math]X^3=begin-1&1&0 end^T[/math] .

Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

7 4  Собственные векторы и собственные значения

Метод итераций для нахождения собственных значений и векторов

Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы [math]A[/math] и спектральный радиус [math]rho(A)= max_bigl|lambda_i(A)bigr|[/math] .

Пусть матрица [math]A[/math] имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов [math]X^i,

i=1,ldots,n[/math] , и собственные значения матрицы [math]A[/math] таковы, что

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Алгоритм метода итераций

1. Выбрать произвольное начальное (нулевое) приближение собственного вектора [math]X^[/math] (второй индекс в скобках здесь и ниже указывает номер приближения, а первый индекс без скобок соответствует номеру собственного значения). Положить [math]k=0[/math] .

lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]i[/math] — любой номер [math]1leqslant ileqslant n[/math] , и положить [math]k=1[/math] .

4. Найти [math]lambda_1^= frac<x_i^><x_i^>[/math] , где [math]x_i^, x_i^[/math] — соответствующие координаты векторов [math]X^[/math] и [math]X^[/math] . При этом может быть использована любая координата с номером [math]i,

1leqslant ileqslant n[/math] .

5. Если [math]Delta= bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|leqslant varepsilon[/math] , процесс завершить и положить [math]lambda_1cong lambda_1^[/math] . Если varepsilon»>[math]Delta>varepsilon[/math] , положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 3.

1. Процесс последовательных приближений

сходится, т.е. при [math]xtoinfty[/math] вектор [math]X^[/math] стремится к собственному вектору [math]X^1[/math] . Действительно, разложим [math]X^[/math] по всем собственным векторам: [math]textstyle<X^= sumlimits_^ c_iX^i>[/math] . Так как, согласно (2.4), [math]AX^i= lambda_iX^i[/math] , то

При большом [math]k[/math] дроби [math]<left(fracright)!>^k, ldots, <left(fracright)!>^k[/math] малы и поэтому [math]A^kX^= c_1lambda_1^kX^1[/math] , то есть [math]X^to X^1[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Одновременно [math]lambda_1= limlimits_ frac<x_^><x_^>[/math] .

2. Вместо применяемой в пункте 4 алгоритма формулы для [math]lambda_1^[/math] можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

3. Метод может использоваться и в случае, если наибольшее по модулю собственное значение матрицы [math]A[/math] является кратным, т.е.

4. При неудачном выборе начального приближения [math]X^[/math] предел отношения [math]frac<x_i^><x_i^>[/math] может не существовать. В этом случае следует задать другое начальное приближение.

5. Рассмотренный итерационный процесс для [math]lambda_1[/math] сходится линейно, с параметром [math]c=frac[/math] и может быть очень медленным. Для его ускорения используется алгоритм Эйткена.

6. Если [math]A=A^T[/math] (матрица [math]A[/math] симметрическая), то сходимость процесса при определении [math]rho(A)[/math] может быть ускорена.

7. Используя [math]lambda_1[/math] , можно определить следующее значение [math]lambda_2[/math] по формуле [math]lambda_2= frac<x_i^- lambda_1 x_i^><x_i^- lambda_1 x_i^>

(i=1,2,ldots,n)[/math] . Эта формула дает грубые значения для [math]lambda_2[/math] , так как значение [math]lambda_1[/math] является приближенным. Если модули всех собственных значений различны, то на основе последней формулы можно вычислять и остальные [math]lambda_j

8. После проведения нескольких итераций рекомендуется «гасить» растущие компоненты получающегося собственного вектора. Это осуществляется нормировкой вектора, например, по формуле [math]frac<X^><|X^|_1>[/math] .

Пример 2.3. Для матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] найти спектральный радиус степенным методом с точностью [math]varepsilon=0,,1[/math] .

1. Выбирается начальное приближение собственного вектора [math]X^= begin 1&1&1 end^T[/math] . Положим [math]k=0[/math] .

5. Так как varepsilon»>[math]bigl|lambda_1^- lambda_1^bigr|= 0,!75> varepsilon[/math] , то процесс необходимо продолжить. Результаты вычислений удобно представить в виде табл. 10.10.

Точность по достигнута на четвертой итерации. Таким образом, в качестве приближенного значения [math]lambda_1[/math] берется 6,9559, а в качестве собственного вектора принимается [math]X^1= begin 2838& 1682& 1888end^T[/math] .

Так как собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, то [math]X^1[/math] лучше пронормировать, т.е. поделить все его компоненты на величину нормы. Для рассматриваемого примера получим

Согласно замечаниям, в качестве собственного значения [math]lambda_1[/math] матрицы можно взять не только отношение

а также их среднее арифметическое [math]fracapprox 6,!8581[/math] .

Пример 2.4. Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы [math]A=begin2&-1&1\ -1&2&-1\ 0&0&3 end[/math] и соответствующий собственный вектор.

1. Зададим начальное приближение [math]X^= begin1&-1&1 end^T[/math] и [math]varepsilon=0,!0001[/math] .

Выполним расчеты согласно методике (табл. 10.11).

В результате получено собственное значение [math]lambda_1cong 3,!00003[/math] и собственный вектор [math]X^1= begin 88573&-88573&1end^T[/math] или после нормировки

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Метод вращений для нахождения собственных значений

Метод используется для решения полной проблемы собственных значений симметрической матрицы и основан на преобразовании подобия исходной матрицы [math]Ainmathbb^[/math] с помощью ортогональной матрицы [math]H[/math] .

Напомним, что две матрицы [math]A[/math] и [math]A^[/math] называются подобными ( [math]Asim A^[/math] или [math]A^sim A[/math] ), если [math]A^=H^AH[/math] или [math]A=HA^H^[/math] , где [math]H[/math] — невырожденная матрица.

В методе вращений в качестве [math]H[/math] берется ортогональная матрица, такая, что [math]HH^=H^H=E[/math] , т.е. [math]H^=H^[/math] . В силу свойства ортогонального преобразования евклидова норма исходной матрицы [math]A[/math] не меняется. Для преобразованной матрицы [math]A^[/math] сохраняется ее след и собственные значения [math]lambda_icolon[/math]

[math]operatorname

A= sum_^a_= sum_^ lambda_i(A)= operatorname

A^.[/math]

При реализации метода вращений преобразование подобия применяется к исходной матрице [math]A[/math] многократно:

Формула (2.6) определяет итерационный процесс, где начальное приближение [math]A^=A[/math] . На k-й итерации для некоторого выбираемого при решении задачи недиагонального элемента [math]a_^,

ine j[/math] , определяется ортогональная матрица [math]H^[/math] , приводящая этот элемент [math]a_^[/math] (а также и [math]a_^[/math] ) к нулю. При этом на каждой итерации в качестве [math]a_^[/math] выбирается наибольший по модулю. Матрица [math]H^[/math] называемая матрицей вращения Якоби, зависит от угла [math]varphi^[/math] и имеет вид

В данной ортогональной матрице элементы на главной диагонали единичные, кроме [math]h_^= cosvarphi^[/math] и [math]h_^=cosvarphi^[/math] , а остальные элементы нулевые, за исключением [math]h_^=-sinvarphi^[/math] , [math]h_^=sinvarphi^[/math] ( [math]h_[/math] -элементы матрицы [math]H[/math] ).

Угол поворота [math]varphi^[/math] определяется по формуле

где [math]|2varphi^|leqslant frac,

i ( [math]a_[/math] выбирается в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A[/math] ).

В процессе итераций сумма квадратов всех недиагональных элементов [math]sigms(A^)[/math] при возрастании [math]k[/math] уменьшается, так что [math]sigms(A^) . Однако элементы [math]a_^[/math] приведенные к нулю на k-й итерации, на последующей итерации немного возрастают. При [math]ktoinfty[/math] получается монотонно убывающая ограниченная снизу нулем последовательность sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots»>[math]sigma(A^)> sigma(A^)> ldots> sigma(A^)>ldots[/math] . Поэтому [math]sigma(A^)to0[/math] при [math]ktoinfty[/math] . Это и означает сходимость метода. При этом [math]A^to Lambda= operatorname(lambda_1,ldots,lambda_n)[/math] .

Замечание. В двумерном пространстве с введенной в нем системой координат [math]Oxy[/math] с ортонормированным базисом [math]<vec,vec>[/math] матрица вращения легко получается из рис. 2.1, где система координат [math]Ox’y'[/math] повернута на угол [math]varphicolon[/math]

Таким образом, для компонент [math]vec,’,, vec,'[/math] будем иметь [math]bigl(vec,’,vec,’bigr)= bigl(vec,vecbigr)cdot! begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отсюда следует, что в двумерном пространстве матрица вращения имеет вид [math]H= begin cos varphi&-sin varphi\ sin varphi& cos varphiend[/math] . Отметим, что при [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Алгоритм метода вращений

1. Положить [math]k=0,

A^=A[/math] и задать 0″>[math]varepsilon>0[/math] .

2. Выделить в верхней треугольной наддиагональной части матрицы [math]A^[/math] максимальный по модулю элемент [math]a_^,

Если [math]|a_^|leqslant varepsilon[/math] для всех [math]ine j[/math] , процесс завершить. Собственные значения определяются по формуле [math]lambda_i(A^)=a_^,

Собственные векторы [math]X^i[/math] находятся как i-e столбцы матрицы, получающейся в результате перемножения:

Если varepsilon»>[math]bigl|a_^bigr|>varepsilon[/math] , процесс продолжается.

3. Найти угол поворота по формуле [math]varphi^= frac operatorname frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] .

4. Составить матрицу вращения [math]H^[/math] .

5. Вычислить очередное приближение [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^ H^[/math] .Положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 2.

1. Используя обозначение [math]overline

_k= frac<2a_^><a_^-a_^>[/math] , можно в пункте 3 алгоритма вычислять элементы матрицы вращения по формулам

2. Контроль правильности выполнения действий по каждому повороту осуществляется путем проверки сохранения следа преобразуемой матрицы.

3. При [math]n=2[/math] для решения задачи требуется одна итерация.

Пример 2.5. Для матрицы [math]A=begin 2&1\1&3 end[/math] методом вращений найти собственные значения и собственные векторы.

1. Положим [math]k=0,

2°. Выше главной диагонали имеется только один элемент [math]a_=a_=1[/math] .

3°. Находим угол поворота матрицы по формуле (2.7), используя в расчетах 11 цифр после запятой в соответствии с заданной точностью:

4°. Сформируем матрицу вращения:

5°. Выполним первую итерацию:

Очевидно, след матрицы с заданной точностью сохраняется, т.е. [math]sum_^a_^= sum_^a_^=5[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.

2. Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]|a_|= 4,!04620781325cdot10^ . Для решения задачи (подчеркнем, что [math]n=2[/math] ) с принятой точностью потребовалась одна итерация, полученную матрицу можно считать диагональной. Найдены следующие собственные значения и собственные векторы:

Пример 2.6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы [math]A=begin5&1&2\ 1&4&1\ 2&1&3 end[/math] .

1. Положим [math]k=0,

2°. Выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональнои части: [math]a_^=2[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_=2> varepsilon=0,!001[/math] , то процесс продолжается.

3°. Находим угол поворота:

4°. Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin0,!85065&0&-0,!52573\ 0&1&0\ 0,!52573&0&0,!85065 end[/math] .

5°. Выполним первую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!236&1,!376&2,!33cdot10^\ 1,!376&4&0,!325\ 2,!33cdot10^&0,!325&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2.

2(1). Максимальный по модулю наддиагональный элемент [math]a_^=1,!376[/math] . Так как varepsilon=0,!001″>[math]a_^> varepsilon=0,!001[/math] , процесс продолжается.

3(1). Найдем угол поворота:

4(1). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!902937&-0,!429770&0\ 0,!429770&0,!902937&0\ 0&0&1 end[/math] .

5(1). Выполним вторую итерацию: [math]A^= bigl(H^bigr)^T A^H^= begin 6,!891& 2,!238cdot10^&0,!14\ 2,!238cdot10^& 3,!345&0,!293\ 0,!14&0,!293&1,!764 end[/math] . Положим [math]k=2[/math] и перейдем к пункту 2.

2(2). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon=0,!001″>[math]a_^=0,!293> varepsilon=0,!001[/math] .

3(2). Найдем угол поворота:

4(2). Сформируем матрицу вращения [math]H^= begin1&0&0\ 0&0,!9842924& -0,!1765460\ 0& 0,!1765460& 0,!9842924end[/math] .

5(2). Выполним третью итерацию и положим [math]k=3[/math] и перейдем к пункту 2:

2(3). Максимальный по модулю наддиагональный элемент varepsilon»>[math]a_^= 0,!138>varepsilon[/math] .

3(3). Найдем угол поворота:

4(3). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!999646&0&-0,!026611\ 0&1&0\ 0,!026611&0&0,!999646 end[/math] .

5(3). Выполним четвертую итерацию и положим [math]k=4[/math] и перейдем к пункту 2:

2(4). Так как varepsilon»>[math]a_^=0,!025>varepsilon[/math] , процесс повторяется

3(4). Найдем угол поворота

4(4). Сформируем матрицу вращения: [math]H^= begin 0,!9999744&-0,!0071483&0\ 0,!0071483&0,!9999744&0\ 0&0&1 end[/math] .

5(4). Выполним пятую итерацию и положим [math]k=5[/math] и перейдем к пункту 2:

2(5). Так как наибольший по модулю наддиагональный элемент удовлетворяет условию [math]bigl|-6,!649cdot10^bigr| , процесс завершается.

Собственные значения: [math]lambda_1cong a_^= 6,!895,,

lambda_3cong a_^=1,!707,,[/math] . Для нахождения собственных векторов вычислим

X^3=begin-0,!473\-0,!171\0,!864 end[/math] или после нормировки

Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Тема

Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Вычисление собственных значений и собственных векторов

Собственным вектором линейного преобразования Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыназывается такой ненулевой вектор Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, что для некоторого Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы(1)

Собственным значением линейного преобразования Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыназывается такое число Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыимеет ненулевое решение Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, а соответствующий скаляр Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыназывается собственным значением оператора.

Классический способ нахождения собственных значений и собственных векторов известен и заключается в следующем: для однородной СЛАУ, полученной из (1)

ненулевые решения имеют место при

причем уравнение (3) называют характеристическим уравнением, а выражение в левой части — характеристическим многочленом.

Каким-либо способом находят решения λ1, λ2,…, λn алгебраического уравнения (3) n-й степени (предположим, что они вещественны и различны).

Решая однородную СЛАУ (3) для различных собственных значений λj где j =1,…,n ,

получаем линейно независимые собственные векторы , x j соответствующие собственным значениям λj.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.

Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц A nxn (A = A T ) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы U в преобразовании подобия Λ= U -1 AU, а поскольку для симметрических матриц A матрица преобразования подобия U является ортогональной (U -1 =U T ), то Λ =U T AU, где Λ — диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с определенной точностью Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицывсе собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:

Пусть известна матрица А (k) на k–й итерации, при этом для k=0 A (0) = A.

1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу U ( k ) , чтобы в результате преобразования подобия A ( k +1) =U ( k ) T A ( k ) U ( k ) произошло обнуление элемента Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыматрицы A ( k +1) .

В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

В матрице вращения на пересечении i-й строки и j-го столбца находится элемент

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, где Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы— угол вращения, подлежащий определению.

Симметрично относительно главной диагонали ( j-я строка, i-й столбец) расположен элемент Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыДиагональные элементы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыи Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыравны соответственно Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы; другие диагональные элементы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы; остальные элементы в матрице вращения равны нулю.

Угол вращения Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыопределяется из условия Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы,

причем если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыто Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

3. Строится матрица Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыв которой элемент Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, то итерационный процесс Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыпродолжается.

Если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, то итерационный процесс останавливается, и в качестве искомых собственных значений принимаются Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Координатными столбцами собственных векторов матрицы A в единичном

базисе будут столбцы матрицы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыт.е. ,

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы), Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы), Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы) ,

причем эти собственные векторы будут ортогональны между собой, т.е.

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Задание: Вычислить собственные значения и собственные векторы для симметричной матрицы.

Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10

Учебное пособие: Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Численное решение алгебраических проблем собственных значений: степенной метод.

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v. Достаточно часто возникают задачи поиска наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений квадратной матрицы – знание таких характеристик матрицы позволяют, например, делать заключения о сходимости итерационных процессов, оптимизировать параметры итерационных методов, учитывать влияние на результаты решения алгебраических задач погрешностей исходных данных. Другой пример: имеется матрица размера 5000*5000, в каждой строке которой содержится порядка десяти отличных от нуля элементов (разреженная матрица), и требуется найти только несколько, может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему.

Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения собственных векторов. Рассмотрим метод, который позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор — степенной метод.

Классическим методом, который иногда оказывается полезным для больших разреженных систем, хотя и страдает серьезными недостатками, является степенной метод. Предположим, что собственные значения Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыматрицы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицывещественны и удовлетворяют условию

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы(1)

При заданном векторе Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицырассмотрим последовательность

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы(2)

Предположим, что матрица Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыимеет n линейно независимых собственных векторов Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицысоответствующих собственным значениям Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы(это имеет место, например, в случае симметричной матрицы А). Разложим Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыпо собственным векторам:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, тогда, учитывая (2):

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

Разделим обе части равенства на λ1 k ≠ 0.

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

В силу (1) все множители Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыстремятся к нулю при k→ ∞ и вектор Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыпо направлению приближается к собственному вектору Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыпри k→ ∞, (4)

Если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, то норма вектора Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыбудет при этом стремиться к нулю, либо неограниченно возрастать, если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы. На практике вычисляемые векторы нормируют на каждой итерации, а в качестве критерия окончания процесса используют условие:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

Формульно-словесное описание метода:

1. Выбираем Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы: Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, k=0, ε – точность вычисления компонент собственного вектора

3. Вычисляем Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

4. Ищем координату Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы: Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

5. Образуем вектор Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы

6. Если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, то собственным значением является Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы;

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы= Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы; в противном случае перейти к п. 2.

Существует модификация степенного метода, которая отличается от предыдущего алгоритма критерием остановки итерационного процесса.

Формульно-словесное описание метода:

1. Выбираем Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы: Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, k=0, ε – точность вычисления максимального по модулю собственного значения, Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы— некоторый допуск (близость к нулю компонент вектора Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы);

3. Вычисляем Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы;

4. Ищем координату Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы: Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы;

5. Образуем вектор Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы;

6. Вычисляем Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыдля таких i, что Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, где Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы— допуск;

7. Если Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, то собственным значением является Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, где j – число индексов, для которых выполняется условие Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы; в противном случае перейти к п. 2.

Основным достоинством степенного метода является то, что векторы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыполучаются только с помощью умножения матрицы на вектор (плюс некоторая работа по вычислению нормирующих множителей); никаких преобразований самой матрицы Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицыпри этом не требуется. Главный недостаток этого метода заключается в том, что он может сходиться очень медленно. Скорость сходимости в первую очередь определяется отношением Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы. Если это отношение по модулю близко к 1, что характерно для многих практических задач, то сходимость будет медленной.

Степенной метод имеет и другие недостатки. Если имеется несколько собственных значений с максимальным модулем, например Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы(а так всегда бывает в случае вещественной матрицы с доминирующей парой комплексно-сопряженных собственных значений), то итерационная последовательность (2) вообще не сходится.

Задание на лабораторную работу

Цель работы: изучение степенных методов расчета максимального по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора квадратной матрицы.

1. Ознакомиться со степенным методом вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы A и его модификациями.

2. Составить и отладить программы, рассчитывающие максимальное по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А произвольной.

3. Элементы матрицы А должны считываться из файла, точность расчета ε вводится с клавиатуры.

4. При проверке работоспособности программ для n=2 и n=3 выполнить ручной расчет собственных значений и собственных векторов матрицы А.

5. Нахождение собственных векторов и собственных значений следует провести, используя самостоятельно составленные и предложенные ниже тестовые примеры:

Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы, Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы,Численные методы собственные значения и собственные векторы матрицы.

6. При заданной точности расчета ε фиксировать выполненное число итераций k.

7. Составить отчет, который должен содержать следующие разделы:

— описание степенного метода и его модификаций

— описание исходных данных

— результаты расчетов тестовых примеров с использованием разработанных программ;

— анализ полученных результатов, выводы по работе;

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 840с.

2. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. – 3-е изд., испр. – СПб: Лань, 2004. – 248с.

3. Кетков Ю.Л. MATLAB 6: программирование численных методов. – СПб.: БВХ-Петербург, 2004. – 672с.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 320с.

💡 Видео

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Пример

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Собственные значения матрицыСкачать

Собственные значения матрицы

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные значения

Практика 1. Часть 1. Собственные вектора и значения линейного оператора. Канонический вид.Скачать

Практика 1. Часть 1. Собственные вектора и значения линейного оператора. Канонический вид.

А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матрицСкачать

А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матриц

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 10Скачать

Лукьяненко Д. В. - Численные методы - Лекция 10

А.7.39 Вычисление собственных значений и собственных векторовСкачать

А.7.39 Вычисление собственных значений и собственных векторов

Вычислительные методы алгебры - Степенной метод, метод вращенийСкачать

Вычислительные методы алгебры - Степенной метод, метод вращений

Численные методы. Лекция 10Скачать

Численные методы. Лекция 10
Поделиться или сохранить к себе:
Название: Численное решение алгебраических проблем собственных значений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 10:50:53 26 февраля 2010 Похожие работы
Просмотров: 1161 Комментариев: 18 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать