Вписанный четырехугольник. Задание 6
При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что
1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:
1 .Задание B7 (№ 27871)
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 
Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°
Ответ: 122°
2 . Задание B7 (№ 27927)
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°
3 . Задание B7 (№ 27928)
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:
А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.
Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°
Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Четырёхугольник вписан в окружность
Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 180 0 , значит
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
360 0 – 116 0 = 244 0
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит
27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 0 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Четырехугольник ABCD вписан в окружность
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Углы CAD и DBC вписанные, построенные на одной хорде CD. Значит
Теперь вычисляем искомый угол:
Вспомним, что известно про вписанный в окружность четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Можем найти:
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, то делайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можем найти».
Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу. Это означает, что они равны, то есть
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Далее воспользуемся свойством – у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Известно, что его противоположные углы в сумме составляют 180 градусов. Найдём угол
Углы ABD и ACD равны, так как они являются вписанными в окружность, построены на одной хорде и лежат от неё по одну сторону, то есть
Рассмотрим треугольник CAD. В нём нам известны два угла, можем найти искомый:
📽️ Видео
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать
Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать
Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК АВСД ВПИСАН В ОКРУЖНОСТЬ. НАЙДИТЕ УГОЛ АБДСкачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Четырехугольник, вписанный в окружностьСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол АВС.Скачать
Треугольник ABC вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC=122, угол ABD=36. Найти угол CADСкачать
Геометрия Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих угловСкачать
