Четырехугольник авсд ромб а отрезки ас и бд его диагонали пересекающиеся в точке о

Вариант 1

1. В четырехугольнике ABCD: АВ || CD, ВС || AD, АС = 20 см, BD = 10 см, АВ = 13 см. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр Δ COD.
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен перпендикуляр ВК к прямой AD; ВК = АВ : 2. Найдите ∠C, ∠D.
3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром АС, причем точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Вариант 2

1. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, О – точка пересечения диагоналей. Периметр Δ AOD равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины В опущен перпендикуляр ВК к прямой AD, AK = ВК. Найдите ∠C, ∠D.
3. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали АС за вершины А и С отмечены точки М и N соответственно так, что AM = CN. Докажите, что MBND – параллелограмм.

II уровень сложности (задания)

Вариант 3

1. В четырехугольнике ABCD ∠А + ∠B = 180°, АВ || CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В, соответственно МР = РВ = АК; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС – точки М и Р соответственно, причем РК = MB, ∠KPC = 80°, ∠C = 50°. Докажите, что КМВР – параллелограмм.

Вариант 4

1. В четырехугольнике МРКН ∠PMK = ∠HKM, РК || МН. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что АР = НВ.
2. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К, АВ = ВМ = KD, ∠AMB = 30°. Найдите угол параллелограмма и сравните отрезки АМ и СК.
3. В треугольнике МРК ∠M = 65°. На сторонах МК, МР, РК отмечены точки А, В, С соответственно так, что середина стороны РК – точка С, AM = КС, BP = АС, ∠BAM = 50°. Докажите, что ВРСА – параллелограмм.

III уровень сложности (задания)

Вариант 5

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = = 180°. Через точку О пересечения диагоналей четырехугольника проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках М и К соответственно; ∠BOM = 90°. Докажите, что KD = ВМ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; ∠BHD = 95°, ∠DMC = 90°, ∠BOD = 155°. Найдите отношение длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.
3. Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Через вершину С вне треугольника проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. Докажите, что КЕ = АС : 2.

Вариант 6

1. В выпуклом четырехугольнике МРКН ∠M + ∠P = 180°, ∠MKH = ∠KMP. На сторонах МН и РК отмечены точки А и В так, что РВ = РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника. Докажите, что HP ⊥ АВ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О; ∠BOD = 140°, ∠DKB = 110°, ∠BMC = 90°. Найдите отношение длин отрезков МС и AD и углы параллелограмма.
3. Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ треугольника РЕТ. Прямая, проходящая через вершину Т вне треугольника, пересекает луч АВ в точке К так, что АР = КТ, АВ = ВК= РТ : 2. Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.

Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 2. ОТВЕТЫ

I уровень сложности (ответы)

Вариант 1

1. ABCD – параллелограмм (рис. 5.67), тогда CD = АВ = 13 см, ОС = АО = 10 см, BD = OD = 5 см (объясните). P_COD = 10 + 5 + 13 = 28 см.
2. ВК = АВ/2 (рис. 5.68), тогда ∠A = 30° (объясните), значит, ∠C = 30°, ∠D = 150° (объясните).
3. В четырехугольнике ABCD (рис. 5.69) середину отрезка BD отметим точкой О. Отсюда следует, что BO = OD.
   Одновременно точка О является центром окружности с диагональю AC, следовательно AO = OC.
   По свойству параллелограммов (диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам), если BO = OD и AO = OC, то ABCD – параллелограмм.

Вариант 2

1. ABCD – параллелограмм (рис. 5.70), тогда АО = СО = 8 см, ВО = DO = 7 см (объясните). Так как P_AOD = 25 см, то ВС = AD = 10 см.
2. AK = ВК (рис. 5.71), тогда ∠A = 45° (объясните), ∠C = 45°, ∠D = 135° (объясните).
3. ABCD – параллелограмм (рис. 5.72), тогда АО = СО, ВО = DO. В четырехугольнике MBND диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, MBND – параллелограмм.

II уровень сложности (ответы)

Вариант 1

1. (рис. 5.73) а) Докажите, что ABCD – параллелограмм и ВС || AD. б) Докажите, что ΔBOM = ΔDOK и ОМ = ОК.
2. (рис. 5.74) а) Докажите, что ΔМРВ – равносторонний, ∠M = 60°, ∠K = 60. б) Докажите, что ΔАКН – равносторонний, ΔАКН = ΔМРВ, тогда МВ = АН, ∠M = ∠K = 60°, ∠P = ∠H = 120°.
3. (рис. 5.75) а) Найдите ∠B и докажите, что МВ || КР. б) Докажите, что МВРК – параллелограмм.

Вариант 2

1. (рис. 5.76) а) Докажите, что МРКН – параллелограмм и РО = НО. б) Докажите, что ΔРОА = ΔНОВ и РА = НВ.
2. (рис. 5.77) а) Докажите, что ΔАВМ – равнобедренный, ∠B = 120°, ∠BAD = 60°. б) Докажите, что ΔАВМ = ΔKDC и AM = КС, ∠B = ∠D = 120°, ∠14 = ∠C = 60°.
3. (рис. 5.78.) а) Докажите, что в ΔАВМ МА = ВА. б) Докажите, что ВРСА – параллелограмм.

III уровень сложности (ответы)

Вариант 1

1. (рис. 5.79) а) Докажите, что ΔBCD – параллелограмм и АО = СО. б) Докажите, что ΔАОК = ΔСОМ и КО = МО. в) Докажите, что ΔDKO = ΔВМО и KD = ВМ.
2. (рис. 5.80) ∠MDC = 60°, ∠MCD = 30° (объясните). MD = CD/2, AB : MD = 2 : 1, ∠C = ∠A = 30°, ∠B = ∠D = 150°.
3. (рис. 5.81) а) Докажите, что ΔMВК = ΔЕСК и ЕС = МВ = AM, КЕ = МК = ME/2; б) Докажите, что АМЕС – параллелограмм и ME = АС, т. е. КЕ = АС/2.

Вариант 2

1. (рис. 5.82) а) Докажите, что МРКН – параллелограмм и МО = ОК. б) Докажите, что ΔMОА = ΔКОВ и АО = ОВ. в) Докажите, что РО⊥АВ и PH⊥АВ.
2. (рис. 5.83) ∠KDC = 50°, ∠MCB = 60°, ∠CBM = 30° (объясните). СМ = ВС/2; МС : AD = 1 : 2; ∠C = ∠A = 60°, ∠B = ∠D = 120°.
3. (рис. 5.84) а) Докажите, что РАКТ – параллелограмм и РЕ || КТ. б) Докажите, что ΔАЕВ = ΔКТВ и АЕ = КТ = РА, т. е. А – середина РЕ.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 4. Самостоятельная работа № 2 «Параллелограмм» с ответами (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 8 Атанасян Самостоятельная 2. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Видео:Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, AB = 7. Найдите DO.Скачать

,Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12 см, OD = 10 см. Докажите, что ABCD

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

Ваш ответ

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

решение вопроса

Видео:Задание 3 (№27717) ЕГЭ по математике. Урок 80Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,754
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Видео:№158. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. НайдитеСкачать

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

🌟 Видео

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Ромб. 8 класс.Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин В и ССкачать

№912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М - середина отрезка АО. НайдитеСкачать

№771. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке ОСкачать

№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать

№784. В паралеллограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М— точка на стороне AD, такая,Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать