Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой
Содержание
  1. 2.1. Задание прямой на эпюре
  2. 2.2. Прямые частного положения
  3. 2.3. Метод прямоугольного треугольника
  4. 2.4. Точка и прямая
  5. Упражнение
  6. Упражнение
  7. 2.5. Следы прямой
  8. 2.6. Взаимное расположение прямых
  9. 2.7. Проекции плоских углов
  10. Теорема о проецировании прямого угла в частном случае
  11. 2.8. Задачи для самостоятельного решения
  12. Точка и прямая в начертательной геометрии с примерами
  13. Чертеж точки
  14. Взаимное положение двух точек. Условия видимости на чер­теже
  15. Чертёж отрезка прямой. Прямые частного положения
  16. Прямая АВ параллельна плоскости Н
  17. Прямая CD параллельна плоскости V
  18. Прямая EF параллельна плоскости IF
  19. Прямая АВ перпендикулярна плоскости Н
  20. Прямая CD перпендикулярна плоскости V
  21. Прямая EF перпендикулярна плоскости W
  22. Взаимное положение точки и прямой
  23. Следы прямой
  24. Взаимное положение двух прямых
  25. Пересекающиеся прямые
  26. Параллельные прямые
  27. Скрещивающиеся прямые
  28. Проецирование плоских углов
  29. Определение истинной величины отрезка прямой
  30. Признаки параллельности прямой и плоскости
  31. 💡 Видео

Видео:Провести горизонтальную прямую через точку и пересекающую заданный отрезок. Начертательная геометрияСкачать

Провести горизонтальную прямую через точку и пересекающую заданный отрезок. Начертательная геометрия

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π1, то его фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций π12, а горизонтальная проекция отрезка А1В1 определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π2, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π21, а фронтальная проекция отрезка C2D2 определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π1 (Рисунок 2.5).

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА1 – расстояние от точки А до плоскости проекций π1;

ВВ1 – расстояние от точки В до плоскости проекций π1;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ1АА11 – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π1 (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π2

Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

  1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
  2. Лежат на одной линии связи.

Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)
Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

    1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е2.
    2. Отложим на этой прямой от точки Е2 равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
    3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F2.
    4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4F2) до пересечения с проекцией E2F2, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К2.
    5. Горизонтальную проекцию точки К1 получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

    Видео:Следы прямойСкачать

    Следы прямой

    Упражнение

    Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

    Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

    Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

    Проецирование прямой общего положения

    2.5. Следы прямой

    След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

    Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

    • горизонтальный след M1– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π1;
    • фронтальный след N2– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π2;
    • профильный след L3 – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π3.

    След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

    • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M1,
    • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N2,
    • профильный – с профильной проекцией L≡L3 (Рисунок 2.10).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

    Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

    Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

    1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
    2. Из точки М2 провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

    Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

    1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
    2. Из точки N1 провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

    Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

    Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

    Видео:Прямая параллельная плоскостиСкачать

    Прямая параллельная плоскости

    2.6. Взаимное расположение прямых

    Две прямые в пространстве могут быть:

    • параллельными;
    • пересекающимися;
    • скрещивающимися.

    Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

    Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
    Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

    Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

    Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

    Видео:Параллельность прямой и плоскостиСкачать

    Параллельность прямой и плоскости

    2.7. Проекции плоских углов

    Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.15

    По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

    Видео:Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

    Точка встречи прямой с плоскостью

    Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

    Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

    Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

    Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВВС,

    Видео:Проецирование прямых частного положенияСкачать

    Проецирование прямых частного положения

    2.8. Задачи для самостоятельного решения

    1. Построить отрезок прямой АВ // π1, равный 35 мм и наклонённый к π2 под углом 25° (Рисунок 2.17).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    Рисунок 2.17

    2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π2 и π1.

    3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π1 и 45° — к плоскости проекций π2.

    4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π21 (Рисунок 2.18).

    Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

    Точка и прямая в начертательной геометрии с примерами

    Содержание:

    Для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений вводят три и более плоскости проекций.

    Введем в систему плоскостей Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Три взаимно-перпендикулярные плоскости делят пространство на восемь частей, восемь октантов (рис. 3.2) (от лат. octo — восемь).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЧерез точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    В нашей стране принята европейская система расположения про­екций. Ось х направлена от начала координат влево, у — вперед (к нам), z — вверх. Обратные направления координатных осей считаются отрицательными.

    Видео:Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.Скачать

    Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.

    Чертеж точки

    Опустим из точки А проецирующие лучи (перпендикуляры) до пересечения с плоскостями проекций Н, V и W. Точки пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций — это проекции точки на каждую из плоскостей проекций:

    • а — горизонтальная;
    • а‘ — фронтальная;
    • а » — профильная.

    Данное наглядное изображение тонки в системе плоскостей Н, V и W (рис. 3.3) неудобно для черчения из-за сложности. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная и профильная плоскости проекций совпали с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа (рис. 3.4).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЧерез точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Это преобразование осуществляют путем поворота вокруг оси х плоскости Н на угол 90° вниз и плоскости W на угол 90° вправо вокруг оси z. В результате указанного совмещения плоскостей получаем чертеж, называемый эпюр Монжа (от франц, Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— чертеж, проект).

    На эпюре мы не можем показать пространственную картину рас­положения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность изображений при значительной простоте построений.

    В дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи будем называть одним словом — чертеж (или комплексный чертеж).

    Горизонтальная и фронтальная проекции точки Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриярасположены на одном перпендикуляре к оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— на линии связи Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия, фронтальная и профильная проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— на одном перпендикуляре к оси z — на линии связи Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПостроение профильной проекции точки по ее фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рис. 3.4. При построении можно использовать дугу окружности с центром в точке О, или биссектрису угла Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПервый способ более точный.

    Таким образом, на комплексном чертеже трех ортогональных проекций точки

    • две проекции находятся на одной линии связи;
    • линии связи перпендикулярны осям проекций;
    • две проекции точки определяют положение се третьей проекции;
    • две проекции точки определяют ее положение в пространстве.

    Положение точки в пространстве задается при помощи трех се координат (абсциссы Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияординаты Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияи аппликаты Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриято есть трех чисел, вы­ражающих расстояние от этой точки до координатных плоскостей проекций. Запись координат точки производят в такой форме: А (х, у, z). Положение точки на плоскости определяют две координаты: а(х,у); a'(x,z); a»(y,z).

    По отношению к плоскостям проекций точка может занимать как общее (точка А), так и частные (точки В и С) положения (рис. 3.5). Если точка лежит в плоскости проекций, то две ее проекции лежат на осях проекций (точка В). У такой точки одна ее координата равна нулю. Если точка принадлежит одновременно двум плоскостям проекций (точка С), то она ле­жит на оси проекций. Две ее проекции совпадают, а третья совпадает с точкой О — началом координат. В атом случае две ее координаты равны нулю. Если точка принадлежит трем плоскостям проекций, то она расположена в начале координат.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Таким образом, величины отрезков линий связи на чертеже определяют численное расстояние проецируемой точки до плоскости проекций. Отрезок Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияуказывает, на каком расстоянии (глубине) расположена точка от фронтальной плоскости проекций, отрезок Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— расстояние (высоту) от точки до горизонтальной плоскости проекций и отрезок Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия. — рас­стояние от точки до профильной плоскости проекций (рис. 3.4).

    Взаимное положение двух точек. Условия видимости на чер­теже

    Рассмотрим чертеж модели, изображенной на рис. 3.6. Проекции некоторых точек совпадают, так как они расположены на одной проецирующей прямой. Например, на горизонтальной плоскости совпали проекции а и b вершин А и В — они лежат на одной горизонтально — проецирующей прямой. На фронтальной плоскости совпали проекции с ‘ и d ‘ вершин С и D — они лежат на одной фронтально-проецирующей прямой.

    Точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называют конкурирующими. А и В — горизонтально-конкурирующие точки, а С и D — фронтально-конкурирующие точки и т.д.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Ясно, что если две точки лежат на одной проецирующей прямой, то одна из них закрывает другую. Как определить, какая из них будет видимая и какая невидимая?

    Из двух горизонтально- конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видима та, которая расположена в пространстве выше. Анализируя положение фронтальных проекций точек (рис. 3.7), определяем, что точка А имеет большую координату z, чем точка В.

    Следовательно, точка А расположена выше точки В и при проецировании на горизонтальную плоскость проекций закроет точку В. Точка А на горизонтальной плоскости видима, точка В — невидима. На фронтальной плоскости они обе видимы.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Из двух фронтально- конкурирующих точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекций (рис. 3.8).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Какая из точек ближе к на­блюдателю, можно определить по горизонтальным проекциям. Например, сравнивая горизонтальные проекции точек D и С , заключаем, что на фронтальной плоскости проекций видима точка С, а точка D — невидима, так как Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Из двух профильно-конкурирующих точек на профильной плоскости проекций бу­дет видима та точка, которая расположена левее.

    Итак, если на чертеже одноименные проекции точек не совпадают или совпадает только одна пара проекций, то такие точки в пространстве не совпадают, а удалены друг от друга на определенное расстояние (рис. 3.7, 3.8).

    Чертёж отрезка прямой. Прямые частного положения

    Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогональное проецирование на плоскость Р показано на рис. 3.9. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ с учетом свойств параллельного проецирования. Проецирующие прямые Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразуют проецирующую плоскость Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЛиния пере­сечения плоскостей Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияи Р проходит через проекции а и b точек А и В на плоскости ­ проекций Р. Эта линия и является единственной проекцией прямой АВ на плоскости проекций Р.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Наглядное изображение проецирования отрезка АВ прямой на две плоскости проекций в системе Н,V показано на рис. 3.10, чертеж — на рис. 3.1 I.

    Если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекция при­надлежит проекции прямой. Например, точка D (рис. 3.9) принадлежит прямой АВ, ее проекции — проекциям прямой.

    Относительно плоскостей проекции прямая может занимать различные положения:

    • — не параллельное ни одной из плоскостей проекций Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия
    • — параллельное одной из плоскостей проекций (прямая может и принадлежать этой плоскости);
    • — параллельное двум плоскостям проекций, то есть перпендику­лярное третьей.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЧерез точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения (рис. 3.9 — 3.11).

    Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций (то есть перпендикулярную третьей), называют прямой частного положения.

    На рис. 3.12 — 3.14 приведены наглядные изображения и чертежи прямых частного положения — прямых, параллельных плоскостям проекций. Такие прямые называют прямыми уровня.

    Различают три вида таких прямых.

    Прямая АВ параллельна плоскости Н

    Такую прямую называют «горизонтальной прямой» (рис. 3.12). Фронтальная проекция прямой Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпараллельна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрофильная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпараллельна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриядлина горизонтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияугол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразованный горизонтальной проекцией и осью проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияравен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций; угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразованный горизонтальной проекцией и осью проекции равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямая CD параллельна плоскости V

    Такую прямую называют «фронтальной прямой» (рис. 3.13).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Горизонтальная проекция прямой cd параллельна оси х; профиль­ная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпараллельна оси z; длина фронтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияугол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразованный фронтальной проекцией и осью проекций х, равен углу наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций; угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразованный фронталь­ной проекцией и осью z, равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямая EF параллельна плоскости IF

    Такая прямая носит название «профильная прямая» (рис. 3.14).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Горизонтальная проекция прямой Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпараллельна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияфронтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпараллельна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриядлина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияуглы Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияобразованные профильной проекцией с осями Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияравны углам наклона прямой к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций соответственно:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Следовательно, каждая линия уровня проецируется в истинную величину на ту плоскость проекции, которой она параллельна. На ту­ же плоскость проекций проецируются без искажения и углы, которые эта прямая образует с остальными двумя плоскостями проекций.

    На рис. 3.15 приведены чертежи прямых, перпендикулярных плоскостям проекций. Такие прямые называются проецирующими прямыми. Различают три вида таких прямых.

    Прямая АВ перпендикулярна плоскости Н

    АВ — горизонтально-проецирующая прямая. Ее проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияперпендикулярна оси х, проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияперпендикулярна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия, проекции а и b совпадают (рис. 3.15, а):

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямая CD перпендикулярна плоскости V

    CD — фронтально-проецирующая прямая. Ее проекция cd перпен­дикулярна оси х, проекция c»d“ перпендикулярна оси z, проекции с’ и d’ совпадают (рис. 3.15, б):

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямая EF перпендикулярна плоскости W

    EF — профильно-проецирующая прямая. Ее проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияперпенди­кулярна оси Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпроекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияперпендикулярна оси z, проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриясовпадают (рис. 3.15,Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой двойного уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Следовательно, на две плоскости проекций проецирующие прямые проецируются без искажения, то есть в натуральную величину, а на третью — в точку.

    Взаимное положение точки и прямой

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

    Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

    Если это положение нарушается, то точка данной прямой не принадлежит. На рис. 3.12 — 3.14 это положение показано на наглядных изображениях и чертежах прямых линий и точек.

    Рассмотрим еще раз это положение на плоскостном чертеже (рис. 3.16). Точка F принадлежит прямой АВ, так как горизонтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияточки принадлежит горизонтальной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрямой, а фронтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияточки принадлежит фронтальной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпря­мой:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Точка С лежит над прямой АВ, точка D лежит под прямой АВ. точка Е лежит за прямой АВ.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Следы прямой

    Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. На рис. 3.17. а точка М — горизонтальный след прямой, точка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— фронтальный.

    Горизонтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриягоризонтального следа прямой совпадает с самим следом — точкой Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия(рис. 3.17, Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияа фронтальная проекция этого следа Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриялежит на оси х. Фронтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияфронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом — точкой N, а горизонтальная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриялежит на той же оси проекций.

    Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия, надо продолжить фронтальную проекцию Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрямой до пересечения с осью х (точка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияТочка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— горизонтальная проекция горизонтального следа.

    Для построения проекций фронтального следа (точек Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия) необ­ходимо продолжить горизонтальную проекцию Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрямой до пересечения с осью х (точка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияТочка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— фронтальная проекция фронтального следа. Построение проекций следов прямой показано на рис. 3.17, б.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Взаимное положение двух прямых

    Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные поло­жения:

    • — пересекаться, то есть иметь одну общую точку;
    • — быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена в бесконечность;
    • — скрещиваться, то есть не иметь обшей точки.

    Пересекающиеся прямые

    Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

    Наглядное изображение двух прямых АВ и CD, пересекающихся в точке К, приведено на рис. 3.18, Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияих чертеж в системе плоскостей Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия-на рис. 3.18, б.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Если одна из прямых профильная, то чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

    На рис. 3.19 все проекции точки Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияодновременно принадлежат проекциям прямой АВ и прямой CD. Это значит, что прямые АВ и CD пересекаются.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЧерез точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    На рис. 3.20 профильная проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияточки К принадлежит профильной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияи не принадлежит профильной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Это значит, что прямые АВ и CD не пересекаются, они скрещиваются.

    Параллельные прямые

    Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно, на рис. 3.21 проецирующие плоскости Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпроведенные через параллельные прямые АВ и CD, параллельны между собой. С плоскостью проекций Р они пересекаются по параллельным прямым Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия— проекциям прямых АВ и CD. Чертеж двух параллельных прямых общего по­ложения приведен на рис. 3.22, чертежи параллельных прямых частного положения — на рис. 3.23:

    • горизонтальных прямых (рис. 3.23, а);
    • фронтальных прямых (рис. 3.23, б);
    • профильных прямых (рис. 3.23, Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    О параллельности прямых в пространстве можно судить по параллельности их одноименных проекций на двух плоскостях проекций.

    При этом нужно учитывать некоторые условия.

    Для прямых общего положения:

    Если одноименные проекции прямых общего положения парал­лельны в системе двух любых плоскостей проекций, то прямые парал­ лельны (рис. 3.22).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Для прямых частного положения:

    Если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 3.23).

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Скрещивающиеся прямые

    Если прямые в пространстве нс пересекаются, а скрещиваются (рис. 3.24), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Сравнивая положение таких точек, определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю. На рис. 3.24, а видно, что точка Е (принадлежащая прямой АВ) расположена выше точки К (принадлежащей прямой CD). При взгляде сверху по указанной стрелке точка Е закрывает точку К. Соответственно и на чертеже (рис. 3.24, б) фронтальная проекция е’ расположена выше фронтальной проекции Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПри взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Н точка е закрывает точку Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПрямая АВ проходит над прямой CD.

    На плоскости V совпадают фронтальные проекции 1′ и 2′ точек прямых АВ и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрямой АВ находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плоскость V точка Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияпрямой АВ закрывает точку 2 прямой CD. Прямая АВ расположена ближе к наблюдателю. Рассмотренные точки являются конкурирующими, так как они лежат на одной линии связи, но на разных прямых.

    Проецирование плоских углов

    Любой линейный угол образуется двумя пересекающимися пря­мыми. На плоскости проекций он проецируется в общем случае с искажением. Однако, если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения. Например, стороны угла АВС (рис. 3.25) параллельны горизонтальной плоскости Р. поэтому угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияспроецировался на нее без изменений.

    Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Рассмотрим теорему о проецировании прямого уг­ла.

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Теорема. Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не пер­ пендикулярна. Пусть сторона DE прямого угла DEK параллельна плоскости Р, а сторона ЕК ей нс перпендикулярна (рис. 3.26). Требуется доказать, что его проекция — угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияравна 90°:

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Доказательство. Пусть угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияи расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р(рис. 3.26, а). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Через прямые EF и Ее проведем дополнительную плоскость Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПлоскость Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияперпендикулярна плоскости Р.

    Возьмем на перпендикуляре Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометриякакую — либо точку К и соединим ее с Е. Угол DEK тоже прямой, так как Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияПроекция угла DEK совпадает с проекцией угла DEF, так как точки F и К лежат на одном перпендикуляре к плоскости Р. Таким образом

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DE угла DEK параллельна плоскости Р.

    Вторая сторона его ЕК наклонна к плоскости Р.

    Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций (рис. 3.26, б, в).

    Определение истинной величины отрезка прямой

    Отрезки прямых общего положения не проецируются в истинную величину ни на одну из плоскостей проекций. Однако в ряде задач необходимо определить по чертежу длину отрезка прямой общего положения и углы наклона прямой к плоскостям проекций.

    В этом случае используют способ построения прямоугольного треугольника.

    Теорема. Истинная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которо­го является проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а другим — разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

    Доказательство. Из рис. 3.27 следует, что истинная величина отрезка АВ будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияВ этом треугольнике один катет равен проекции отрезка, а другой — разности расстояний концов отрезка до плоскости проекций.

    Определим истинную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н (угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияесли известны две проекции отрезка (рис. 3.28, а).

    Построим прямоугольный треугольник, у которого одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка до плоскости Н (разность z координат точек А и В). Истинная величина отрезка АВ равна гипотенузе abOt а угол наклона его к плоскости Н — угол Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    На рис. 3.28, 6 показано определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости V- угла Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрияЧерез точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    1. Инженерная графика
    2. Начертательная геометрия
    3. Компас
    4. Автокад
    5. Черчение
    6. Проекционное черчение
    7. Аксонометрическое черчение
    8. Строительное черчение
    9. Техническое черчение
    10. Геометрическое черчение
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Прямая линия
    • Плоскость
    • Поверхности
    • Изображения и обозначения на чертежах
    • Моделирование трехмерных объектов в KOMПAC-3D
    • Метод проекций
    • Методы проецирования
    • Образование проекций

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    Видео:Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

    Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.

    Признаки параллельности прямой и плоскости

    Признаки параллельности прямой и плоскости имеют следующее определение — прямая m параллельна плоскости α, если в плоскости α можно провести прямую n, параллельную m:

    Очевидно через точку пространства, не принадлежащую плоскости, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной плоскости.

    Через точку A провести прямую m, параллельную плоскости α, заданной пересекающимися прямыми a и b

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Если нет никаких дополнительных условий, то мы вправе, используя признаки параллельности прямой и плоскости, провести любую прямую из множества прямых, проходящих через точку A и параллельных плоскости α — например параллельно одной из прямых a или b. Если же поставлено условие, чтобы прямая не была параллельна прямым a и b — необходимо построить прямую 12 и провести искомую прямую m(m`, m») параллельно ей.

    Через заданную точку A провести плоскость, параллельную прямой f

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Плоскость задаем пересекающимися в точке A прямыми a и b. При этом одна из прямых (прямая a) параллельна прямой f.

    Через заданную точку K провести прямую, параллельную плоскости треугольника ABC и фронтали, проходящей через вершину A

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    Построим фронталь f по заданному условию: — через точку A` параллельно оси x проводим прямую f`. Данная прямая пересекает B`C` — сторону треугольника в точке D`. По линии связи находим фронтальную проекцию точки D, принадлежащей стороне BC треугольника. Проводим через точки и прямую . Через точку K проводим прямую параллельную фронтали f. Данная прямая будет параллельна и плоскости треугольника ABC.

    Через точку A(-3;4;-3) провести прямую параллельную двум плоскостям α(3x+4y-2z+7=0) и β(x-2z+5=0)

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    1. Строим проекции точки A 2. Строим следы плоскости α (3x+4y-2z+7=0): a) z=0; 3x+4y+7=0; αH; y=0; 3x+7=0, x=-7/3, x=-2,33; b) y=0; 3x-2z+7=0; αV; x=0; -2z+7=0, z=3,5; z=0; 3x+7=0, x=-2,33 3) Строим следы плоскости β (x-2z+5=0): βV x=0; -2z+5=0, z=5/2, z=2,5; z=0; x+5=0, x=-5 4) Строим линию пересечения 1—2 заданных плоскостей α и β

    Через точку провести прямую параллельную прямой начертательная геометрия

    5) Строим линию m параллельную плоскостям α и β: m`‖1`—2` и m»‖1″—2″

    💡 Видео

    Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

    Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

    Построение следов плоскостиСкачать

    Построение следов плоскости

    Перпендикуляр к прямойСкачать

    Перпендикуляр к прямой

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

    Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать

    Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

    Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

    Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости
  • Поделиться или сохранить к себе: