Бра и кет векторы для чайников (3 видео) | Курс школьной геометрии

Бра и кет векторы для чайников

Прошлый пост по этой хуете был откровенно плох, но теперь мы стали лучше и готовы более полно и просто освещать все темы (да пизжу конечно, просто темы кончаются, а тот пост был написан не совсем понятно). Когда человек впревые встречается с бра и кетом (от пендосского «бракет» – скобка), то он вообще нихуя не понимает, особенно, если он знает о квантовой механике лишь то, что Б-г создал небесный купол, Землю и прочую поеботу, которая вращается вокруг Земли. Далее поц понимает, что ско и бка (привет, Ландау, великий транслитёр) описывают квантовые состояния, но в чем их отличие не всегда понятно.

И если с кетом все понятно – он просто описывает квантовое состояние, то с бра понятно ровным счетом нихуя, вот определение из Википедии: «Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряженного к данному». Иногда там уточняют, то это какое-то метаматематическое Эрмитово сопряжение. И если вы обычный человек, то, скорее всего, не знаете, что такое сопряженное пространство (из нашей команды единственный, кто это знает – Александр Ершов), так что напишем это чуть-чуть по-другому.

Вспомним волновую функцию Шредингера. Если да, то это было не нужно, так как нам нужно знать, чем эта функция задается – координатами (а, буду всю сетку координат обозначать буквой а, потому что хочу) и временем (t) (а также еще квантовыми числами, но нам они сейчас нахуй не всрались). Если мы захотим описать какое-то состояние, то мы запишем это так, как показано на 2 пикче (как я понял, ВК вообще не ест такие скобки). Но если вы думаете, что вписали в бра координатную сетку, то вы глубоко наебали себя, так как это не совсем так.

Разберемся с эрмитовым сопряжением (неебически кратко). Для этого надо знать, что такое линейный функционал. Грубо говоря, это когда мы какому-то вектору ставим в соответствие число на какой-нибудь координатной оси, измеряя проекцию этого вектора. Так у нас получается скалярное пространство, которое является отображением векторного, я нарисовал это на 3 картинке (если вы че-то поняли, то можете идти на 4 курс квант и мат-меха). Итак, эрмитово сопряжение (эрмитов оператор А, и А* для сопряженного) – это такая хуйня, когда мы вот такое сопряжение можем сделать так: берем из сопряженного пространства какое-то число, потом каким-то метаматематическим образом действуем на него эрмитовым оператором, а потом всей этой хуйней еще подействовали на изначальный вектор из первого пространства, то после этого наш ответ будет совпадать с тем, если бы мы сделали то же самое, но эрмитовым оператором А подействовали на вектор из первого пространства, а потом всей этой хуйней подействовали на скаляр из сопряженного пространства (4 картинка, и пояснение к ней – отображение на само себя, это когда каждой точке А ставится симметричная точка А_1). КАРОЧЕ, БРА-ВЕКТОР ТУПО СТАВИТ СОПРЯЖЕННЫЙ СКАЛЯР ДАННОМУ ВЕКТОРУ.

Итак, кет-вектор – это хуетень, которая показывает квантовое состояние в обычном пространстве, а бра-вектор в эрмитово сопряженном. Лично я не совсем понимаю как можно некоторому состоянию фотона (то есть это скаляр) ставить в соответствие вектор, который мы потом отображаем на скалярное пространство (по логике получается один и тот же ответ), так что я не ебу. Если кто-то в этом шарит чутка лучше, то поясните плес.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite

Видео:Что такое бракет-нотация Дирака? Душкин объяснитСкачать

Операторы проекции

Бра- и кет- векторы Дирака замечательны тем, что с помощью них можно записать различные типы произведений.

Произведение бра-вектора на кет- вектор называется скалярным произведением или внутренним произведением. По сути это стандартное матричное произведение по правилу «строка на столбец». Результатом его есть комплексное число.

Произведение кет-вектора на другой кет-вектор дает уже не число, а другой кет-вектор. Он тоже представляется вектор-столбцом, но с количеством компонент равном произведению размерностей исходных векторов. Такое произведение называется тензорным произведением или произведением Кронекера.

Аналогично и для произведения двух бра-векторов. Получим большую вектор-строку.

Последним остается вариант с перемножением кет-вектора на бра-вектор. То есть необходимо перемножить столбец на строку. Такое произведение также называется тензорным или внешним произведением. В его результате получается матрица, то есть оператор.

Рассмотрим пример использования таких операторов.

Возьмем какой-нибудь произвольный эрмитов оператор А. Согласно постулатам ему соответствует какая-то наблюдаемая величина. Собственные векторы эрмитового оператора формируют базис. Наиболее общий вектор состояния можно разложить по этому базису. То есть представить суммой базисных векторов с определенными комплексными коэффициентами. Данный факт известен как принцип суперпозиции. Перепишем выражение через знак суммы.

Но коэффициенты в разложении вектора по базисным есть амплитуды вероятности, то есть скалярное произведение вектора состояния с соответствующим базисным вектором. Запишем эту амплитуду справа от вектора. Выражение под знаком суммы можно рассматривать как умножение кет-вектора на комплексное число – амплитуду вероятности. С другой стороны его можно рассматривать как произведение матрицы, полученной умножением кет-вектора на бра-вектор, и исходного кет-вектора. Кет-вектор можно вынести из под знака суммы за скобку. Справа и слева знака равенства окажется один и тот же вектор пси. Это значит, что вся сумма ничего не делает с вектором и соответственно равна единичной матрице.

Данная формула сама по себе очень полезна при манипулировании выражениями с произведениями бра- и кет- векторов. Ведь единицу можно вставить в любое место произведения.

Посмотрим что же из себя представляют матрицы, входящие в сумму и получаемые тензорным произведением базисного кет-вектора со своим эрмитовым сопряжением. Опять же для наглядности проведем аналогию с обычными векторами в трехмерном пространстве.

Выберем единичные базисные векторы ex ey и ez, совпадающие по направлению с осями координат. Тензорное произведение вектора ex на свое сопряжение будет представляться следующей матрицей. Возьмем произвольный вектор v. Что же будет при умножении этой матрицы на вектор? Данная матрица просто обнулила все компоненты вектора кроме х. В итоге получился вектор, направленный вдоль оси х, то есть проекция исходного вектора на базисный вектор ex. Выходит наша матрица есть не что иное как оператор проекции.

Оставшиеся два оператора проекции на базисные векторы ey и ez представляются похожими матрицами и выполняют аналогичную функцию – обнуляют все кроме одной компоненты вектора.

Что же получится при суммировании операторов проекции? Сложим например операторы Px и Py. Такая матрица будет обнулять только z-компоненту вектора. Итоговый вектор всегда будет лежать в плоскости x-y. То есть мы имеем оператор проекции на плоскость x-y.

Теперь понятно почему сумма всех операторов проекции на базисные векторы равна единичной матрице. В нашем примере мы получим проекцию трехмерного вектора на само трехмерное пространство. Единичная матрица по-сути и есть проектор вектора самого на себя.

Получается задание оператора проекции эквивалентно заданию подпространства исходного пространства. В рассматриваемом случае трехмерного евклидового пространства это может быть одномерная линия, задаваемая одним вектором или двумерная плоскость, задаваемая парой векторов.

Возвращаясь к квантовой механике с ее векторами состояния в Гильбертовом пространстве, можно сказать что операторы проекции задают подпространство и проецируют вектор состояния в это Гильбертово подпространство.

Приведем основные свойства операторов проекции.

Последовательное применение одного и того же оператора проекции эквивалентно одному оператору проекции. Обычно данное свойство записывают как P 2 =P. Действительно, если первый оператор спроецировал вектор в подпространство, то второй уже ничего с ним не сделает. Вектор ведь уже будет находиться в этом подпространстве.
Операторы проекции являются эрмитовыми операторами, соответственно в квантовой механике им соответствуют наблюдаемые величины.
Собственные значения операторов проекции любой размерности это только числа единица и ноль. Находится вектор в подпространстве или не находится. Из-за такой бинарности, описываемую оператором проекции наблюдаемою величину можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет «да» или «нет». Например, направлен ли спин первого электрона в синглетном состоянии вверх по оси z? Такому вопросу можно поставить в соответствие оператор проекции. Квантовая механика позволяет посчитать вероятности для ответа «да» и для ответа «нет».

В дальнейшем мы еще будем говорить об операторах проекции.

Видео:Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Символика Дирака

Разлагая произвольную функцию ф, по базисным функциям |/_м некоторого оператора L в соответствии (1.3), мы получаем ее L-представление. Таким образом, в зависимости от того, собственные функции какого оператора используются в качестве базисных, могут иметь место различные представления ф,. В основном тексте настоящего пособия используются только не зависящие от времени операторы. Однако при этом временная зависимость переносится на волновые функции. Такое представление называется представлением Шрёдингера.

Можно использовать в качестве базисных собственные функции операторов, зависящих от времени. В этом случае волновые функции фиксируются в начальный момент и явно не зависят от времени. Такое представление называется представлением Гейзенберга.

В отмеченных случаях слово представление характеризует также способ описания изменения состояния во времени. Вообще существует множество представлений. Можно, например, задать состояние системы в шрёдингеровском координатном представлении, шрёдингеровском импульсном представлении, шрёдингеровском энергетическом представлении. При этом используются волновые функции, зависящие от координат и времени, например vj/_M (*,/), собственные функции оператора импульса |/_ц (/?,/)> энергии ij/jj (?,/). Важно, что полученные решения многих квантовомеханических задач в одном представлении не могут быть использованы прямым образом в другом представлении. Для этого зачастую необходимы сложные преобразования.

Дирак предложил алгебраическую формулировку основных принципов квантовой механики, свободную от упомянутой выше трудности. При этом он ввел специальные обозначения математических объектов: векторов и операторных выражений. Его обозначения используются в ряде учебников, учебных пособий, руководств и многочисленных публикациях по квантовой теории. Поэтому кратко познакомимся с данными обозначениями.

Прежде всего были введены векторы, характеризующие состояния квантово-механической системы независимо от выбранного представления и названные кет-векторами. Каждый кет-вектор, являясь вектор-столбцом, характеризует п-е состояние системы |/„ и обозначается правой частью скобок (происхождение названия от англ, «bracket» — скобка)

Число п называется индексом состояния.

Были введены как вектор-строки и бра-векторы, обозначаемые левой частью скобок (bracket)

которые являются транспонированными и сопряженными кет-векторам. Таким образом,

В отечественной литературе кет- и бра-векторы называют также векторами и со-векторами соответственно. Выражение, содержащее только правую ) или левую ( скобку, называется неполным скобочным выражением и всегда означает соответственно кет- или бра-вектор.

Квантово-механический оператор L действует на кет- вектор слева, а на бра-вектор — справа:

При этом получаются новые кет- и бра-векторы.

Если линейную комбинацию кет-векторов, например, записать в виде

где с. — коэффициенты, то для бра-векторов она включает их комплексно-сопряженные значения с*:

Внутреннее произведение, называемое также скалярным произведением, бра- и кет-векторов выглядит так:

Обычно его записывают в слегка упрощенном виде

и называют полным скобочным выражением. Данное скобочное выражение как скалярное произведение векторов, осуществляемое умножением строки на столбец, всегда дает некоторое число. Для ортонормированных векторов оно, естественно, равно символу Кронекера

Существует и внешнее произведение, в котором бра- вектор находится справа, а кет-вектор — слева

Действуя таким произведением на произвольный кет- вектор |^), получаем

где a_q — некоторое число, определяемое вектором | q).

Поэтому внешнее произведение является оператором. Чисто математически оно является матричной формой оператора, так как умножение столбца на строку дает матрицу. В случае т= р = п подобное произведение

называется проекционным оператором на направление п. Действительно, после действия такого оператора на произвольный вектор | q) получаем его проекцию a_q на направление вдоль кет-вектора |л)