В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.
а) Дуги DE и CD равны, так как на них опираются равные вписанные углы DAE и DAC, значит, равны и стягивающие их хорды DE и DC, треугольник DCE равнобедренный по определению.
б) Из треугольника ABC по теореме косинусов найдем
Четырехугольник AEDC вписан в окружность, значит, его противолежащие углы в сумме дают 180°. Имеем:
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
откуда находим, что CD = DE = 3. Теперь найдём площадь треугольника CDE:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D. Точка О — центр вписанной окружностиВаш ответПохожие вопросы
Популярное на сайте: Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так. Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. Задание 16. Математика ЕГЭ. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1.Задание. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1. а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1. б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 11, АВ = 13, АС = 20.
Решение: Угол ∠QB1C1 – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, т. е.
Так как АВ – касательная к окружности и QC1 – хорда окружности, то угол ∠QC1А между хордой и касательной окружности, проведенной через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла, т. е.
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 11, АВ = 13, АС = 20.
Так как AQ и C1Q – биссектрисы треугольника ∆AB1C1, тогда точка пересечения биссектрис Q – центр вписанной в треугольник ∆AB1C1 окружности. Точка Q – точка пересечения биссектрисы AQ и окружности с центром О, то расстоянием от точки О до точки Q – центра окружности, вписанной в треугольник ∆AB1C1 является OQ – радиус окружности с центром О, вписанный в треугольник ∆АВС.
P = 13 + 11 + 20 = 44 Площадь треугольника ∆АВС найдем по формуле Герона: |
