Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

ГБОУ СОШ № 000 с углубленным изучением английского языка Адмиралтейского района Санкт-Петербурга

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Тригонометрические неравенства одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. При решении простейших тригонометрических неравенств удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и верно записать множества решений данного неравенства.

Цель данной разработки — сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x a, cosx , называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство — это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиили с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, sin xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, sin x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, sin xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, sin x Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

На единичной окружности проводим прямую y = Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности, которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности, все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности, но меньших Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности, sin x будет принимать значения больше Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности(но не больше единицы).

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности, т. е. Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, cos xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, cos xАлгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa, cos x

Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

Простейшие и сложные тригонометрические неравенства

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими – ‹, › и нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 – Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

  1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
  2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
  3. Отметить точки пересечения двух графиков.
  4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки – [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Способ 2 – Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

  1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
  2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
  3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
  4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
  5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиявляются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Видео:Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрия

Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства (sinxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой (a). Провести горизонталь (y=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (sin⁡x=a). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((arcsina+2pi k; pi-arcsin a+2pi k))

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности$$ sin xgt frac12 $$ 1. Проводим горизонталь (y=frac12), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (sinx=frac12) begin x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (fracpi6) и точку слева (frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: ((fracpi6; frac)). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (sinxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (sin⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью (y=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве (sin⁡xleq a) всё будет то же, что и в (sin⁡xlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности$$ sin xleq -frac<sqrt> $$ 1. Проводим горизонталь (y=-frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое).
2. Решаем уравнение (sinx=-frac<sqrt>) begin x=(-1)^kleft(-fracpi4right)+pi k= left[ begin -frac+2pi k\ -frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (-frac) и точку слева (-frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: (left[-frac;-fracright]). Добавляем к концам отрезка полный период.
Ответ: (left[-frac+2pi k;-frac+2pi kright])

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства (cosxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой (a). Провести вертикаль (x=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (cos⁡x=a). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((-arccos⁡a+2pi k; arccos⁡a+2pi k))

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности$$ cosxgt frac<sqrt> $$ 1. Проводим вертикаль (x=frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (cosx=frac<sqrt>) begin x=pmfracpi6+2pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6) и точку сверху (frac).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi6right)). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(-fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (cosxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (cosxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали (x=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве (cos⁡xleq a) всё будет то же, что и в (cosxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства (tgxgt a)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой (a). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (tg⁡x=a). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до (fracpi2) (в которой (tgxrightarrow +infty)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: (left(arctga+pi k; fracpi2+pi kright))

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности$$ tg xgt -frac<sqrt> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку (-frac<sqrt>). Проводим луч из начала координат через эту точку.
2. Решаем уравнение (tgx=-frac<sqrt>) begin x=-fracpi6+pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6.) Верхней границей интервала будет (fracpi2), угол, в котором (tgxrightarrow +infty .)
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi2right)). Добавляем к концам интервала период для тангенса.
Строго говоря, на числовой окружности длиной (2pi) получим две дуги для тангенса с периодом (pi). Ответ: (left(-fracpi6;+pi k; frac+pi kright))

Алгоритм решения неравенства (tg⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки (-fracpi2) (в которой (tgxrightarrow -infty)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки (pmfracpi2) ((tgxrightarrow pminfty)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида (ctgxgt a) пределу (ctgxrightarrow +infty) соответствует угол 0.

В неравенствах вида (ctgxlt a) пределу (ctgxrightarrow -infty) соответствует угол (pi).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) (sinxleq frac<sqrt>)
Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности
$$ xinleft[-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$
б) (cosxlt -frac)
Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности
$$ xinleft(frac+2pi k; frac+2pi kright) $$
в) (sinxgt -frac<sqrt>)
Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности
$$ xinleft(-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$
г) (tgxgeq 1)
Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружности
$$ xinleft.left(-frac+pi k; frac+pi kright.right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиa) (cosxgt -1)
Справа от вертикали (x=-1) расположена вся числовая окружность, кроме точки (pi).

Ответ: (xne pi+2pi k)Алгоритм решения тригонометрических неравенств по единичной окружностиб) (4cos^2frac x2-3leq 0)
(4cdot fracleq 3)
(2+2cosxleq 3)
(cosxleqfrac12)

Ответ: (left[fracpi3+2pi k; frac+2pi kright])

в) (-sqrtlt tgxleq 5)
(-arctgsqrt+pi klt xleq arctg5+pi k)
(-fracpi3+pi klt xleq arctg5+pi k)
Ответ: (left.left(-frac+pi k; arctg5+pi kright.right])

г) (tgleft(x-fracpi4right)gtsqrt)
(arctgsqrt+pi klt x-fracpi4ltfracpi2+pi k)
(fracpi4+fracpi3+pi klt xltfracpi4+fracpi2+pi k)
(frac+pi klt xltfrac+pi k)
Ответ: (left(frac+pi k; frac+pi kright))

📸 Видео

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Тригонометрические неравенства, часть 2Скачать

Тригонометрические неравенства, часть 2

решение тригонометрических неравенств 3Скачать

решение тригонометрических неравенств 3

Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!Скачать

Алгебра 10 класс. 29 октября. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА! ЖЕСТЬ!

Тригонометрические неравенства, часть 1Скачать

Тригонометрические неравенства, часть 1

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать

Решить тригонометрические неравенства sinx

Алгебра 10 класс (Урок№50 - Тригонометрические неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№50 - Тригонометрические неравенства.)

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

Решение тригонометрических неравенств. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических неравенств. Практическая часть. 10 класс.

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений
Поделиться или сохранить к себе: