Активный треугольник в звезду

Эквивалентные преобразования активных треугольника и звезды.

Активный треугольник в звезду

При преобразовании треугольник – звезда в ветвях эквивалентной звезды содержатся как пассивные элементы (сопротивления), так и активные (источники ЭДС). Величины эквивалентных ЭДС определяют из условия равенства разности потенциалов между соответствующими узлами до и после преобразования при полном отключении преобразуемого участка от остальной части цепи (рисунок 15). В этом случае во всех ветвях треугольника течёт ток, а в ветвях звезды токи отсутствуют.

Активный треугольник в звезду(11)

Запишем второй закон Кирхгофа для ветви R12 , E12треугольника:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Поскольку величины напряжений U12 в обеих схемах должны быть одинаковыми, получим

Активный треугольник в звезду(12)

Аналогично для остальных ветвей имеем

Активный треугольник в звезду(13)

Активный треугольник в звезду(14)

Выражения (11) – (14) дают возможность определять величины эквивалентных ЭДС.

При переходе от треугольника к эквивалентной звезде с целью упрощения решаемой задачи величина ЭДС в одной из ветвей звезды может быть выбрана произвольно. Пусть, например, Е3 = 0, тогда из выражений (13), (14) получим:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

При переходе от звезды кэквивалентному треугольнику в качестве дополнительного условия можно принять

Активный треугольник в звезду

Тогда Активный треугольник в звездуи из выражений (12) — (14) получим

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Величины эквивалентных сопротивлений звезды и треугольника определяются по формулам (1)-(6). Рассмотрим, например схему Рисунок 16, которая при помощи преобразования звезды с ветвями (R1, Е1), (R2, E2), (R3, Е3) в эквивалентный треугольник получает вид рисунок 17.

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Выберем в качестве дополнительного условия

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Рассмотрим преобразование треугольника 1 2 3 (рисунок 16) в эквивалентную звезду, для чего выделим его из цепи (рисунок 18а).

Активный треугольник в звезду

Напряжения между узлами треугольника и звезды:

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Принимаем для упрощения Активный треугольник в звезду, тогда:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

В итоге схема (рисунок 16) принимает вид, представленный на рисунке 19.

Активный треугольник в звезду

Задача 1

Определить эквивалентное сопротивление RЭ (рисунок 20, 21, 22) относительно указанных зажимов, если сопротивления равны 10 Ом. Данные взять из табл. 1-3 (номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале, номеру 11 соответствует 1 вариант).

Активный треугольник в звезду

R7=0R4=∞R3=∞R1=0R1=∞R2=0R2=∞R7=0R4=0 R5=0R7=∞

Активный треугольник в звезду

R5=0R5=∞R4=0R3=0R3=0R1=∞R5=0R2=0R4=0R2=0
?RabRabRabRcdRacRbdRacRcdRadRbc

Активный треугольник в звезду

R9=0R4=∞R7=∞R8=0R8=0 R9=0R8=0 R9=∞R8=0R2=0 R7=0R6=∞R3=∞ R8=0
?RabRabRabRcdRacRkdRcdRcbRckRak

Задача 2

Используя преобразования параллельных ветвей, упростить схему до трёхконтурной. Составить уравнения по законам Кирхгофа для эквивалентной схемы. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале (номеру 11 соответствует 1 схема).

Схемы к задаче 2:

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Задача 3

Используя взаимные преобразования активных треугольника и звезды, упростить схему до трёхконтурной. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале (номеру 11 соответствует 1 схема).

Схемы к задаче 3:

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду Активный треугольник в звезду

Задача 4

В цепи (рисунок 23) три источника питания, ЭДС которых равны E1,E2,E3; их внутренние сопротивления соответственно равны R01 = 0,1 Ом; R02 = 0,2 Ом; R03 = 0, 3 Ом. Отдельные ветви цепи могут быть разомкнуты при помощи рубильников P1, P2, P3, P4, P5, P6. Сопротивления в пассивных ветвях R1 = 1,5 Ом; R2 = 21 Ом; R3 = 2,5 Ом; R4 = 2 Ом; R5 = R6 = R7 = R8 = 3 Ом. Определить по методу непосредственного применения законов Кирхгофа токи во всех ветвях и режимы работы источников энергии. Составить баланс мощностей. Данные взять из табл. 4 (номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале, номеру 11 соответствует 1 вариант).

Активный треугольник в звезду

ВариантДанные к задаче 4
E1E2E3Разомкнуты рубильники
P4,P5,P6
P2,P5,P6
P2,P4,P5
P1,P4,P6
P2,P3,P6
P4,P5,P6
P2,P4,P5
P2,P3,P6
P1,P4,P6
P2,P5,P6

Задание №2. Цепи однофазного синусоидального тока

Задачей расчёта электрической цепи является определение токов в её ветвях, напряжений на участках цепи или потенциалов узлов. При этом задаются: конфигурация цепи, параметры ее элементов и ЭДС, источников. Для расчёта токов в сложных электрических цепях применяются методы уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

Теоретические положения

Метод уравнений Кирхгофа

Расчёт линейных электрических цепей методом законов Кирхгофа сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных токов. Так как число неизвестных токов в заданной схеме равно числу ветвей n этой схемы, то система алгебраических уравнений должна иметь n-й порядок.

Пусть k – число узлов схемы. Из принципа непрерывности токов следует, что число линейно независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно (k-1).Недостающие уравнения, число которых [n-(k-1)], составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, не содержа­щих источников тока. Контуры являются независимыми, если в каждый из них вхо­дит ветвь, не входящая во все остальные.

Рассмотрим на примере расчёт токов в схеме (рисунок 24), которая содержит 6 ветвей, 4 узла и 3 независимых контура. Выберем произвольно направление токов в ветвях и направление обхода независимых контуров. Первые три уравнения (4 — 1 = 3) запишем по первому закону Кирхгофа, а оставшиеся три (6 — 3 = 3) – по второму закону Кирхгофа:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Решение полученной системы уравнений дает искомые токи. Если цепь содержит m ветвей с источниками тока, то число неизвестных токов уменьшается до (n-m). По первому закону Кирхгофа число уравнений остается без изменений (k-1), а по второму закону Кирхгофа она соответственно уменьшается на число ветвей с источниками тока [n-(k-1)-m].

Так, для схемы Рисунок 25, содержащей 6 ветвей и один источник тока, необходимо составить три уравнения по первому закону Кирхгофа и два – по второму.

Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Если в результате расчётов какой-либо ток получился отрицательным, это значит, что его действительное направление противоположно выбранному.

К недостатку рассмотренного метода следует отнести высокий порядок системы уравнений для расчёта сложных электрических цепей.

Метод контурных токов

Расчёт разветвлённой цепи может быть сведён к решению всего [n-(k-1)] уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Для этого цепь рассматривается как совокупность независимых соприкасающихся контуров и производится условная замена неизвестных токов в ветвях на токи, протекающие по замкнутым контурам. В уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, вводятся токи в независимых контурах – контурные токи.

Действительные токи в ветвях, принадлежащих только одному контуру, равны соответствующим контурным токам (но могут отличаться от них по направлению). Токи в общих для двух или нескольких контуров ветвях определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Первый закон Кирхгофа при этом будет выполняться автоматически. Направление контурных токов выбирается произвольно, а обход контуров усло­вимся проводить в направлении контурных токов.

Для цепи с источниками ЭДС система уравнений, составленных для независимых контуров по второму закону Кирхгофа, содержит уравнения типа

Активный треугольник в звезду

где Активный треугольник в звезду– контурные токи;

Активный треугольник в звезду– сумма сопротивлений ветвей, образующих независимый m-й контур (контурное сопротивление), Активный треугольник в звезду;

Активный треугольник в звезду– сумма ЭДС этого контура;

Zmq – сопротивление ветви, общей для m-го и q-контура (сопротивление связи).

Если в общих (смежных) ветвях направления контурных токов совпадают, то сопротивление связи берётся положительным, если токи направлены встречно, то – отрицательным. Контурные сопротивления всегда принимаются положительными.

При записи правой части уравнений ЭДС, направления которых совпадают с принятым направлением контурного тока (обхода), принимаются положительными, а при направленных противоположно – отрицательными.

Запишем систему уравнений по методу контурных токов для схемы Рисунок 26:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

После решения системы уравнений относительно контурных токов находим токи в ветвях:

Активный треугольник в звездуПри наличии ветви с источником тока выбирается дополнительный контур, включающий эту цепь. Уравнение для дополнительного контура не составляется, т.к. контурный ток равен току источника. Падения напряжения на сопротивлениях связи с другими от источника тока (контурного тока) учитываются. Так, для цепи (рисунок 27) система уравнений имеет вид

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

где. Активный треугольник в звезду

Метод узловых потенциалов

Если в разветвлённой электрической цепи число узловбез единицы меньше, чем число независимых контуров (k-1) 2 XL входит в сумму со знаком «плюс», для емкости I 2 Xc – со знаком «минус».

Видео:Лекция 24. Преобразование треугольника в звезду.Скачать

Лекция 24. Преобразование треугольника в звезду.

Преобразование схем электрических цепей

Содержание:

Преобразование схем электрических цепей:

При расчете электрических цепей часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета. Так, при одном или нескольких источниках электрической энергии в ряде случаев удается преобразовать электрическую схему в одноконтурную или в схему с двумя узлами, что весьма упрощает последующий расчет.

Описываемые ниже приемы преобразования схем электрических цепей применимы для цепей постоянного и переменного тока-, ради общности изложения они приводятся в комплексной записи.

Одним из основных видов преобразования электрических схем, часто применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений — последовательного и параллельного, рассмотрению которых и посвящен данный параграф.

Видео:Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемы

Последовательное соединение

На рис. 4-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены комплексные сопротивленияАктивный треугольник в звезду

Напряжения на отдельных участках цепи обозначены через Активный треугольник в звезду

По второму закону Кирхгофа

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Сумма комплексных сопротивлений всех последовательно соединенных участков цепи

Активный треугольник в звезду

называется эквивалентным комплексным сопротивлением.

Активный треугольник в звезду
Если мнимые части комплексов Активный треугольник в звезду

представляют собой сопротивления одинакового характера— индуктивного или емкостного (рис. 4-2), то эквивалентное комплексное сопротивление Z находится в результате

Активный треугольник в звезду

арифметического сложения в отдельности сопротивлений Активный треугольник в звездуиндуктивностей Активный треугольник в звездуили величин Активный треугольник в звездуобратных емкостям:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

где
Активный треугольник в звезду
Ток в цепи равен:

Активный треугольник в звезду
Напряжения на участках цепи, соединенных последовательно, относятся как комплексные сопротивления этих участков: напряжение на k-м участке равно произведению суммарного напряжения Активный треугольник в звездуна отношение комплексного сопротивления Активный треугольник в звездуучастка к эквивалентному комплексному сопротивлению цепи:

Активный треугольник в звезду
Приведенные выше формулы справедливы при любых значенияхАктивный треугольник в звезду

Видео:Треугольник в звезду и наоборот.Скачать

Треугольник в звезду и наоборот.

Параллельное соединение

На рис. 4-3 изображена схема электрической цепи с двумя узлами. Между этими узлами параллельно соединены ветви с комплексными проводимостями Активный треугольник в звезду Активный треугольник в звездуНапряжение на всех ветвях одинаковое, равное Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду
Токи в ветвях обозначены черезАктивный треугольник в звезду

По первому закону Кирхгофа

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Сумма комплексных проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно,

Активный треугольник в звезду

называется эквивалентной комплексной проводимостью.

Если мнимые части комплексов Активный треугольник в звездупредставляют собой проводимости одинакового характера — емкостного или индуктивного (рис. 4-4), то эквивалентная

Активный треугольник в звезду
комплексная проводимость Y находится в результате арифметического сложения отдельных активных проводимостей Активный треугольник в звезду, емкостей Активный треугольник в звездуили величин Активный треугольник в звездуобратных индуктивностям:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Суммарный ток в цепи равен:

Активный треугольник в звезду

Токи в ветвях относятся, как их комплексные проводимости: ток в Активный треугольник в звездуветви равен произведению суммарного тока всех ветвей на отношение комплексной проводимости Активный треугольник в звездуветви к эквивалентной комплексной проводимости:

Активный треугольник в звезду
Данным выражением особенно удобно пользоваться при n > 2. При этом значения Активный треугольник в звездумогут быть любыми.

В случае параллельного соединения двух ветвей (n = 2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления Активный треугольник в звездуветвей; эквивалентное комплексное сопротивление равно: v 1 1 Z,Z2

Активный треугольник в звезду
Токи в параллельных ветвях:

Активный треугольник в звезду
t. e. ток одной из двух параллельных ветвей равен суммарному току, умноженному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопротивлений обеих ветвей.

Видео:Звезда,треугольник соединение сопротивленийСкачать

Звезда,треугольник  соединение сопротивлений

Смешанное соединение

Электрические схемы, имеющие смешанное соединение, могут быть преобразованы в более простую электрическую схему путем замены параллельных ветвей одной ветвью и соответственно последовательно соединенных участков цепи — одним участком.

Активный треугольник в звезду

На рис. 4-5 показан пример электрической цепи со смешанным соединением. Эта схема легко приводится к одноконтурной. Первоначально вычисляется эквивалентная комплексная проводимость параллельных ветвей; затем находится величина, обратная проводимости, т. е. общее комплексное сопротивление параллельных ветвей; найденное комплексное сопротивление суммируется с комплексным сопротивлением последовательно включенного участка. Полученное суммарное

комплексное сопротивление эквивалентно сопротивлению исходной цепи со смешанным соединением.

Расчетные выражения для рассматриваемого случая будут следующие:

Активный треугольник в звезду

Суммарное комплексное сопротивление всей цепи равно:

Активный треугольник в звезду

а суммарный ток
Активный треугольник в звезду
Токи в ветвях относятся, как комплексные проводимости ветвей:

Активный треугольник в звезду

Таким юбразом, многоконтурная электрическая схема со смешанным соединением приводится к одноконтурной,
Активный треугольник в звезду
имеющей суммарное комплексное сопротивление Z или соответственно суммарную комплексную проводимость Y. Распределение токов и напряжений в смешанной цепи подчиняется правилам, указанным в предыдущем параграфе.

Описанный выше порядок преобразования схемы и нахождения распределения токов принципиально применим и для так называемой цепной схемы, показанной на рис. 4-6. Просуммировав комплексные сопротивления Активный треугольник в звездув последней ветви, найдем комплексную проводимость ветви, которую алгебраически сложим с Активный треугольник в звездуи получим суммарную комплексную проводимость двух последних ветвей; вычислив обратную величину, т. е. комплексное сопротивление, прибавим к ней Активный треугольник в звездуПродолжая

таким образом дальше, получим в итоге результирующее комплексное сопротивление цепи и соответственно суммарный ток Активный треугольник в звездукоторый может быть путем последовательных вычислений распределен между всеми ветвями сложной цепи.

Однако такой способ расчета цепной схемы является достаточно трудоемким и утомительным. Более целесообразно в этом случае воспользоваться другим методом, который известен под названием метода подобия или единичного тока.

Задавшись током в последней ветви, равным единице Активный треугольник в звездунаходим напряжение на комплексном сопротивлении Активный треугольник в звездуравное Активный треугольник в звездуПри этом ток Активный треугольник в звезду.

Активный треугольник в звезду

Прибавив к напряжению на Активный треугольник в звездупадение напряжения от тока Активный треугольник в звездув комплексном сопротивлении Активный треугольник в звездуполучим напряжение на Активный треугольник в звездуПродолжая таким образом дальше, найдем в конечном итоге ток Активный треугольник в звездуи напряжение Активный треугольник в звездуВвиду того что ток Активный треугольник в звездубыл произвольно выбран равным единице, полученное напряжение не будет равно заданному напряжению Активный треугольник в звездуна выводах цепи. Для нахождения действительного распределения токов в схеме необходимо все вычисленные значения токов умножить на отношение Активный треугольник в звезду

Видео:Соединение обмоток треугольникомСкачать

Соединение обмоток треугольником

Эквивалентные участки цепи с последовательным и параллельным соединениями

Обозначим комплексное сопротивление участка цепи, состоящего из двух последовательно соединенных элементов, через Активный треугольник в звездуКомплексная проводимость данного участка цепи равна Активный треугольник в звездупричем активная и реактивная проводимости:

Активный треугольник в звезду

Если два элемента с проводимостями g и b, вычисленными по этим формулам, соединить параллельно, то суммарная комплексная проводимость будет равна Y и соответственно комплексное сопротивление будет равно Z,

Такие две цепи с последовательным и параллельным соединениями, имеющие одинаковые сопротивления на выводах, называются эквивалентными.

Ввиду того что реактивное сопротивление х, входящее в расчетные формулы, в общем случае зависит от частоты, условие эквивалентности этих цепей выполняется только при той частоте, для которой вычислено х.

Пусть, например, задана схема с последовательным соединением сопротивления Активный треугольник в звездуи индуктивности Активный треугольник в звезду(рис. 4-7, а). Преобразуем ее в схему с параллельным соединением элементов (рис. 4-7, б).

Активная и реактивная проводимости исходной цепи:

Активный треугольник в звезду

Из условия эквивалентности цепей следует, что параметры новой цепи будут:

Активный треугольник в звезду
Вычислив по этим формулам Активный треугольник в звездуполучим схему цепи, эквивалентной исходной при данной частоте Активный треугольник в звездуПри других значениях частоты Активный треугольник в звездупараметры Активный треугольник в звездубудут иметь другие значения, следовательно эквивалентность цепей нарушится.

Активный треугольник в звезду

При Активный треугольник в звездунапример, при достаточно высокой частоте:
Активный треугольник в звезду
Если исходной является схема рис. 4-7, б и заданными параметрами являются Активный треугольник в звездуто параметры эквивалентной цепи (рис. 4-7, а) определятся из выражений:

Активный треугольник в звезду

Из полученных выражений видно, что числовые значения Активный треугольник в звездуэквивалентной цепи зависят от частоты.

Условия эквивалентности для цепей с последовательным и параллельным соединением сопротивления и емкости имеют вид:
Активный треугольник в звезду
При достаточно высокой частоте Активный треугольник в звездуи тогда

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Видео:Этому не учат, а стоило бы. Чем отличается звезда от треугольника? #звезда #треугольник #двигательСкачать

Этому не учат, а стоило бы. Чем отличается звезда от треугольника? #звезда #треугольник #двигатель

Преобразование треугольника в эквивалентную звезду

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи

Активный треугольник в звезду
сохраняются неизменными. Иначе говоря, эквивалентность треугольника и звезды понимается в том смысле, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы. Это равносильно тому, что мощности в этих цепях одинаковы.

На рис. 4-8 показан случай, когда преобразование треугольника в эквивалентную звезду дает возможность преобразовать многоконтурную схему в одноконтурную.

Для вывода расчетных выражений, служащих для преобразования треугольника в эквивалентную звезду, ниже приняты следующие обозначения (рис. 4-9):

  • Активный треугольник в звезду— сопротивления сторон треугольника;
  • Активный треугольник в звезду— сопротивления лучей звезды;
  • Активный треугольник в звезду— токи, подходящие к выводам 1, 2, 3
  • Активный треугольник в звезду— Токи в ветвях треугольника.

Выразим токи в ветвях треугольника через приходящие токи.

Активный треугольник в звезду
По второму закону Кирхгофа сумма напряжений в контуре треугольника равна нулю:

Активный треугольник в звезду

По первому закону Кирхгофа для узлов 2 и 1

Активный треугольник в звезду

Решение этих уравнений относительно Активный треугольник в звездуДает:

Активный треугольник в звезду
Напряжение между выводами 1 и 2 схемы рис. 4-9, а будет:

Активный треугольник в звезду

a в схеме рис. 4-9, б оно равно:
Активный треугольник в звезду
Для эквивалентности необходимо равенство напряжений Активный треугольник в звездупри всяких токах Активный треугольник в звезду
Активный треугольник в звезду

Это возможно при условии:

Активный треугольник в звезду

Третье выражение получается в результате круговой замены индексов.

Итак, комплексное сопротивление луча звезды равно произведению комплексных сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму комплексных сопротивлений трех сторон треугольника.

Выше было получено выражение для тока в стороне 1—2 треугольника в зависимости от токов Активный треугольник в звездуКруговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника:

Активный треугольник в звезду

Видео:урок 2 Преобразование треугольника сопротивлений в звездуСкачать

урок 2   Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

Преобразование звезды в эквивалентный треугольник

В расчетах также возникает необходимость замены звезды эквивалентным треугольником. На рис. 4-10 показан, например, случай, когда такая замена позволяет

Активный треугольник в звезду
преобразовать сложную электрическую схему в одноконтурную.

При переходе от звезды к треугольнику заданными являются сопротивления звезды Активный треугольник в звездуВыражения для искомых сопротивлений треугольника находятся в результате совместного решения трех уравнений (4-1).

Деление третьего уравнения на первое, а затем на второе дает:

Активный треугольник в звезду

Выражая отсюда Активный треугольник в звездуи подставляя их в первое уравнение (4-1), получим:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Аналогично круговой заменой индексов получим:

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду
Отедовательно, комплексное сопротивление стороны треугольника равно сумме комплексных сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Токи в лучах звезды легко выражаются через токи в сторонах треугольника. С учетом положительных направлений на рис. 4-9 имеем:
Активный треугольник в звезду

Видео:Как работает пусковой переключатель со звезды на треугольникСкачать

Как работает пусковой переключатель со звезды на треугольник

Эквивалентные источники э. д. с. и тока

Два разнородных источника электрической энергии — источник э. д. с. и источник тока — считаются эквивалентными,, если при замене одного источника другим токи и напряжения во внешней электрической цепи, с которой эти источники соединяются, остаются неизменными. На рис. 4-11 изображены эквивалентные источники тока, посылающие во внешнюю цепь ток Активный треугольник в звездуи поддерживающие на своих выводах одинаковое напряжениеАктивный треугольник в звезду

Условием эквивалентности источников, именуемым в дальнейшем правилом об эквивалентных источниках э.д.с. и тока, служит следующее соотношение между э. д. с. Ё источника э. д. с. и токомАктивный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

где Z — внутреннее комплексное сопротивление как источника э. д. с., так и источника тока.

Действительно, напряжение Активный треугольник в звездуна источнике э. д. с. получается в результате вычитания из э. д. с. Активный треугольник в звездупадения напряжения от тока Активный треугольник в звездув комплексном сопротивлении Z источника (рис. 4-11, а).

Соответственно напряжение Активный треугольник в звездуна источнике тока при том же токе Активный треугольник в звездупосылаемом во внешнюю цепь, равно падению напряжения от тока Активный треугольник в звездув комплексном сопротивлении Z источника (рис. 4-11,6).

В обоих случаях напряжения на выводах обоих источников одинаковы:

Активный треугольник в звезду
т. е. получается условие (4-3), не зависящее от тока Активный треугольник в звездунагрузки.

Активный треугольник в звезду

При отсоединении эквивалентных источников э. д. с.

и тока от внешней цепи Активный треугольник в звездунапряжение на выводах обоих источников равно Ё. Именно это обстоятельство и равенство внутренних комплексных сопротивлений обоих источников и обеспечивают их эквивалентность при любом режиме работы.

Следует заметить, что мощности, расходуемые во внутренних сопротивлениях эквивалентных источников э. д. с. и тока, неодинаковы. В первом случае полная мощность, расходуемая в источнике, равна Активный треугольник в звездуво втором случае

Активный треугольник в звезду

Например, при отсоединении источников от внешней цепи в первом случае мощность в источнике не расходуется, а во втором случае она составляет Активный треугольник в звезду

Поэтому эквивалентность источников следует понимать только в смысле неизменности токов, напряжений и мощностей во внешней электрической цепи, присоединенной к источникам.

Если внутреннее сопротивление источника э. д. с. равно нулю, то непосредственное применение формулы (4-3) для нахождения эквивалентного источника тока по, заданной э. д. с. источника не представляется возможным. В таких случаях сопротивление внешней цепи, включенной последовательно с э. д. с., можно рассматривать в качестве внутреннего сопротивления источника, что позволит применить формулу (4-3).

В случае сложной электрической цепи замена источника э. д. с. эквивалентным источником тока или обратно может иногда упростить расчет.

Целесообразность такой замены проиллюстрирована, в частности, в следующем параграфе.

Видео:Трёхфазный переменный ток. Соединение "звезда" и "треугольник"Скачать

Трёхфазный переменный ток. Соединение "звезда" и "треугольник"

Преобразование схем с двумя узлами

Применим правило об эквивалентных источниках э. д. с. и тока к преобразованию схемы с параллельным соединением n ветвей, содержащих источники э. д. с. (рис. 4-12, а).

Активный треугольник в звезду
Заменяя заданные источники э. д. с. источниками тока, получаем схему рис. 4-12, б. Источники тока в совокупности образуют эквивалентный источник тока Активный треугольник в звезду(рис. 4-12, в), причем

Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Пользуясь этим соотношением, можно в конечном итоге перейти от схемы рис. 4-12, в к схеме рис. 4-12, s, являющейся эквивалентом исходной схемы рис. 4-21, а. Здесь
Активный треугольник в звезду
Таким образом, n параллельных ветвей с источниками э. д. с. между двумя узлами могут быть заменены одним источником тока (рис. 4-12, в) или источником э. д. с. (рис. 4-12, s).

Ток во внешней цепи (в ветви с сопротивлением Активный треугольник в звездуравен:

Активный треугольник в звезду
Напряжение между двумя узлами находится по формуле

Активный треугольник в звезду
Выведенные здесь выражения широко используются для расчета электрических цепей с двумя узлами, а также более сложных цепей, приводящихся к двум узлам.

Видео:Как работает силовая часть Звезда - ТреугольникСкачать

Как работает силовая часть Звезда - Треугольник

Перенос источников в схеме

Расчет электрической цепи облегчается в ряде случаев в результате переноса в схеме источников э. д. с. или тока. Как это видно из уравнений Кирхгофа, токи в схеме определяются заданными величинами суммарных э. д. с. в контурах независимо от того, из каких отдельных слагающих они состоят. Поэтому изменение расположения в схеме источников э. д. с., при котором суммарные э. д. с. во всех контурах сохраняются неизменными, не влияет на токи в ветвях. Аналогично напряжения на ветвях определяются заданными суммарными токами источников тока в узлах, и поэтому изменение расположения в схеме источников тока, при котором их суммарные токи во всех узлах сохраняются неизменными, не влияет на напряжения в схеме.

Если, например, требуется исключить источник э. д. с. из какой-либо ветви, то в данную ветвь вводится компенсирующая э. д. с., причем точно такая же э. д. с. вводится одновременно во все остальные ветви, сходящиеся

Активный треугольник в звезду
в одном из узлов данной ветви. Компенсирующая и дополнительные э. д. с. имеют одинаковое направление по отношению к рассматриваемому узлу. В результате этого источник э. д. с. из ветви исключается и появляются источники э. д. с. в других ветвях схемы. Суммарные э. д. с. во всех контурах и соответственно токи в ветвях остаются прежними.

Итак, источник э. д. с. может быть перенесен из какой-либо ветви схемы во все другие ветви, присоединенные к узлу данной ветви, без изменения токов в схеме.

Справедливо и обратное положение: если во всех ветвях, кроме одной, сходящихся в узле, имеются одинаковые источники э. д. с. (рис. 4-13, а), направленные все к одному узлу или все от узла, то они могут быть заменены одним источником э. д. с. в ветви, в которой источник отсутствовал (рис. 4-13, б).

Это положение подтверждается тем, что суммарные э. д. с. в контурах схем на рис. 4-13, а и б одинаковы.

Имеется и другое доказательство данного положения: ввиду равенства э. д. с. всех источников вторые выводы

их могут быть объединены, как имеющие одинаковый потенциал. В результате такого объединения, показанного на рис. 4-13, а пунктиром, получается схема рис. 4-13, б.

Активный треугольник в звезду

В случае переноса источников тока они присоединяются к узлам схемы так, чтобы оставались неизменными их суммарные токи в узлах.

Так, например, несмотря на то, что источники тока размещены в схемах рис.

4-14, а и б различно, суммарные токи источников в узлах обеих схем одинаковы. Поэтому и напряжения между узлами не изменились.

Итак, источник тока может быть заменен источниками тока, подключенными. параллельно всем

ветвям, которые составляли контур с рассматриваемым источником.

• Перенос источников в схеме успешно сочетается на практике с различными методами преобразований и расчетов (см. пример 4-1).
Активный треугольник в звезду

Пример 4-1.

Вычислить ток в диагональной ветви Активный треугольник в звездумостовой схемы рис. 4-15, а.

Дано:Активный треугольник в звездуАктивный треугольник в звезду

Заданный источник тока может быть заменен двумя источниками, подключенными параллельно сопротивлениям Активный треугольник в звезду(рис. 4-15, б). Пользуясь условием эквивалентности источников э, д, с, и тока, получаем схему рис, 4-15, в с двумя узлами. По формуле (4-4) напряжение на ветви Активный треугольник в звездуравно Активный треугольник в звезду

Активный треугольник в звезду

Видео:Лекция 25. Преобразование звезды в треугольник.Скачать

Лекция 25. Преобразование звезды в треугольник.

Преобразование симметричных схем

Схема электрической цепи, в которой имеется ось симметрии, называется симметричной. Например, схема рис. 4-16, а симметрична относительно вертикальной оси. В симметричных схемах легко выявляются точки или узлы с одинаковым потенциалом. В ветвях, присоединенных к таким узлам, токи равны нулю. Поэтому эти ветви

Активный треугольник в звезду
можно разрезать, не нарушая распределения токов и напряжений в схеме. Точки, имеющие одинаковый потенциал, могут быть объединены. Рассечение ветвей, по которым не проходит ток, и объединение точек равного потенциала упрощают схему и облегчают расчет.

Так, в симметричной схеме рис. 4-16, б токи в соединениях, пересекающих ось симметрии, отсутствуют. Разрезав схему по оси симметрии, получим с обеих сторон одноконтурную схему рис. 4-16, в, которая легко рассчитывается.

Допустим теперь, что полярность источников в симметричной схеме неодинакова (рис. 4-17, а). В этом случае (равенство э. д. с. источников и различие их полярности) токи в симметричных ветвях (например, Активный треугольник в звездуи напряжения между соответствующими парами выводов, симметрично расположенными относительно оси, равны и противоположны по знаку. Отсюда следует, что напряжения между всеми точками, лежащими на оси симметрии, равны нулю Активный треугольник в звездуПоэтому все точки схемы на оси симметрии могут быть замкнуты накоротко (рис. 4-17, б).

Активный треугольник в звезду
Таким образом, расчет сложных симметричных схем приводится к расчету более простых схем.

На рис. 4-18, а и б показана симметричная мостовая схема, имеющая две оси симметрии — вертикальную и

Активный треугольник в звезду
горизонтальную. В продольных ветвях ток отсутствует; потенциалы средних точек поперечных (перекрещенных) ветвей одинаковы.

Поэтому продольные ветви могут быть рассечены, а средние точки поперечных ветвей — объединены. В результате с обеих сторон получится одноконтурная схема (рис. 4-18, в), расчет которой крайне прост.

Если изменить полярность одного из источников (рис. 4-19, а), то роли продольных и поперечных ветвей поменяются и преобразованная часть схемы примет вид, показанный на рис. 4-19, б.

Активный треугольник в звезду
В разобранных выше примерах э. д. с. источников были равны. В случае неравенства э. д. с. источников преобразование симметричной схемы удобно сочетается с методом наложения (см. пример 7-5).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Электротехника
  2. Основы теории цепей
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Установившиеся процессы в линейных электрических цепях
  • Методы расчета простых электрических цепей
  • Метод сигнальных графов
  • Электрическая ёмкость и ее расчет
  • Топологии электрических цепей
  • Уравнения электрического равновесия цепей
  • Линейные цепи при гармоническом воздействии
  • Нелинейные резистивные цепи

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Что такое звезда и треугольник в трансформатореСкачать

Что такое звезда и треугольник в трансформаторе

Преобразование треугольника в звезду — методы, формулы и примеры

Активный треугольник в звезду

Видео:Соединение звезда и треугольник. Различие между нимиСкачать

Соединение звезда и треугольник. Различие между ними

Общие сведения

Электрическая цепь предназначена для обеспечения протекания по ней токов определённой величины. Она содержит источники и приёмники энергии, которые соединены проводниками. При изображении радиоэлементов используют их графические обозначения. Электрические же соединения обозначают прямыми линиями. Замкнутые проводники образовывают контуры. В их состав входят узлы (точки контакта трёх и более линий) и ветви (соединители).

Существует 2 способа обеспечения контакта между элементами:

  • параллельный — при таком включении в цепи не будет ни одного узла;
  • последовательный — входящие в цепь эквиваленты присоединены к одной точке, связанной или не имеющей контакта с другой.

В основе преобразований лежит приведение схемы к упрощённому виду без изменения величины тока или напряжения. Для этого выделяют один контур и заменяют его эквивалентным сопротивлением. При последовательном соединении импеданс просто складывают, а вот при параллельном используют формулу: 1/R = 1/R1 + 1/R2 +…1/Rn.

Активный треугольник в звезду

Таким образом, путем замены пары элементов одним, схема последовательно упрощается до тех пор, пока в ней не окажется один резистор. А уже по его величине и рассчитывают ток цепи. Но в некоторых случаях существуют соединения, которые не поддаются методу упрощения. Если внимательно посмотреть на такую цепь, можно увидеть подключение, похожее на треугольник. В таком случае невозможно определить, какие элементы параллельные, а какие последовательные.

Чтобы найти эквивалентное сопротивление таких сложных соединений, используют преобразование треугольника в равнозначную звезду. По сути, при треугольном подключении 3 элемента образуют замкнутый контур. При этом между каждой парой резисторов имеется узел. Связь же звездой образуется при получении трёх лучевого соединения, в котором каждый элемент цепи подсоединён одним концом к общему узлу, а другой стороной контакта к остальной части схемы.

Преобразование в физике выполняют по строго установленным формулам.

Если его выполнить правильно, значения потенциалов в одноимённых точках треугольника и звёзды, а также подводящиеся к этим узлам токи, останутся одинаковыми. Это значит, что вся оставшаяся часть схемы «не заметит» выполненной замены.

Видео:Как соединить обмотки электродвигателя в треугольник и звездуСкачать

Как соединить обмотки электродвигателя в треугольник и звезду

Переход треугольник — звезда

Чтобы преобразовать треугольник в звезду, нужно применять особый подход. Закон Ома для такого случая применить невозможно, поэтому упрощения выполняют, руководствуясь правилами Киргофа. Их 2. Первое гласит, что в узле токи компенсируют друг друга, то есть их алгебраическая сумма равняется нулю. Второе же сообщает, что если сложить электродвижущую силу в любом замкнутом контуре цепи, она будет равна алгебраической сумме падений потенциала на импедансе этой части схемы.

Активный треугольник в звезду

В соответствии с этими законами, можно утверждать, что в узлах электрического заряда нет. Он не расходуется и не собирается. В количественном виде первое утверждение записывают так: I1 = I2 + I3, где с левой стороны стоит значение тока втекающего, а справа вытекающих. Второй закон описывается выражением: E1 — Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2.

Опираясь на эти правила, можно выполнить перевод схемы.

Сделать это удобно, руководствуясь следующим алгоритмом:

Активный треугольник в звезду

  1. Пусть имеется контур, образованный из резисторов Ra1, Rb1, Rc1, соединённых треугольником.
  2. Сумму всех сопротивлений можно обозначить символом RΔ. Её можно будет найти, сложив все импедансы: RΔ = Ra1 + Rb1 + Rc1.
  3. Для получения равенства с неизвестными нужно сделать перестановку в соотношении. Выражение примет вид: Ra2 + (RΔs)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rb1 + Rb1 * Rc1.
  4. Из эквивалентных уравнений можно вывести ещё 2 формулы, описывающие оставшиеся пары контактов. Беря во внимание симметрию, можно получить: Ra2 + (0)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rс1 + Rb1 * Rc1 и Ra2 + (RΔs)Rb2 + (0)Rc2 = Ra1 * Rc1 + Ra1 * Rb1.
  5. Нужно выполнить сложение последних двух уравнений, а после, отняв первое, получить равенство: 2 (RΔs) * Ra2 = 2 * Ra1 * Rc1. Отсюда: Ra2 = Ra1 * Rc1 / RΔs.
  6. По аналогии можно найти и оставшиеся эквиваленты: Rb2 = Ra1 * Rb1 / RΔs и Rc2 = Rc1 * Rb1 / RΔs.

Конечно же, при решении задачи о переводе из одного вида подключения в другое никто не расписывает промежуточные вычисления, а используют сразу конечную формулу: Rk = Rk1 * Rk2 / RΔs, где: Rk — сопротивление, подключённое к контакту в уже трансформированной схеме, а Rk1 и Rk2 — резисторы, стоящие в контуре типа треугольник.

Таким образом, сопротивление, соединённое с каждым узлом при переходе, можно найти из перемножения сопротивлений, подключённых к соответствующей точке в цепи, подключённой треугольником, и дальнейшему их делению на сумму всех резисторов в неизменном контуре.

Видео:Трехфазные цепи. Схема соединения "ЗВЕЗДА"Скачать

Трехфазные цепи. Схема соединения "ЗВЕЗДА"

Обратное преобразование

Чтобы получить нужную формулу, следует вести ряд обозначений. Токи, подходящие к узлам, можно обозначить как I1, I2, I3. Преобразование должно выполняться таким образом, чтобы при замене контура величины других токов и потенциалов не изменялись. Для этого следует выразить упорядоченное движение зарядов через напряжение точек и проводимость.

Активный треугольник в звезду

В соответствии с первым правилом Кирхгофа, можно записать: I1 + I2 + I3 = 0. Равенство можно изменить так: (f1 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 = 0, где: f — потенциал в точке. В выражении легко выполнить простые преобразования и найти f0. Оно будет равно: f0 = (f1p1 + f2p2 + f3p3) / (p1 + p2 + p3). Полученную формулу возможно использовать для вывода тока. Для I1 будет верным уравнение: I1 = (f1 — f0) * p1 = (f1 * (p2 + p3) — f2 * p2 — f3p3) * p / (p1 + p2 + p3).

Движение заряда удобно обозначать не буквами, а цифрами. Например, число 12 будет показывать, что рассматривается связь первого и второго узла. Таким образом, в треугольнике I1 = I12 — I31 = (f1 — f2) * p12 — (f3 — f1) * p13 = f1* (p12 + p13) — f3p13 -f 2p12.

Учитывая, что ток I1 в схеме треугольник и звезда одинаков, при этом величины потенциалов не влияют на его значение, коэффициенты, стоящие возле f в правой и левой части, будут равны. Тогда можно записать следующие равенства: p12 = p1 * p2 / (p1 + p2 + p3); p13 = p1 * p3 / (p1 + p2 + p3); p23 = p2 * p2 / (p1 + p2 + p3). Как раз по этим формулам и возможно рассчитать проводимость треугольника через звезду.

Активный треугольник в звезду

Зная проводимость, можно определить импеданс, так как это величина обратна сопротивлению. Вывод формулы будет иметь следующий вид: R12 = (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) / 1/r1 * r2. Для дальнейших расчётов многочлен (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) удобно заменить одной буквой, например, s. Тогда: R12 = s / r3; R23 = s / r1; R13 = s / r2. Подставив последние выражения в формулу для нахождения s, можно будет получить отношение: m = (r12 * r23 * r31) / (r12 + r23 + r31).

Формулы для нахождения эквивалента при переходе примут вид:

  • R1 = (r12 * r31) / y;
  • R2 = (r23 * r12) / y;
  • R3 = (r13 * r23) / y.

Где: y = r12 + r23 + r31. Полезность преобразования в треугольник позволяет привести схему к набору простых последовательных соединений. Подключение двигателей по этой схеме позволяет добиться наибольшей отдачи мощности, например, при модернизации промышленных электросетей.

Видео:#012. Режим переключения "Звезда"-"Треугольник". Часть 1.Скачать

#012. Режим переключения  "Звезда"-"Треугольник". Часть 1.

Решение примера

При знании формул решение задач на преобразование треугольника в звезду или обратно обычно не доставляет проблем. Нужно просто внимательно следить за подставляемыми величинами. Но перед тем как приступить непосредственно к расчёту эквивалентной схемы, следует оценить необходимость выполнения такого действия. Некоторые элементы могут быть соединены последовательно или параллельно, поэтому нужно будет начать с простых преобразований, а уже позже переходить к звезде или треугольнику.

Вот пример задания. Имеется трёхфазная цепь. Посчитать её эквивалентное сопротивление. Известно, что схема подключена к источнику напряжения 220 вольт, сопротивление: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 50 Ом, R6 = 60 Ом, R7 = 70 Ом.

Активный треугольник в звезду

В этой схеме сопротивления R1 и R2 соединены последовательно. Что же касается остальных элементов, сказать, какой тип подключения у них по отношению друг к другу, нельзя. Но зато видно, что контур, состоящий из R5, R7, R4, является треугольником, то есть задача состоит в превращении его в эквивалентную трёхлучевую звезду.

Новые элементы можно обозначить как R57, R45, R47. Чтобы найти номиналы новых сопротивлений, нужно воспользоваться эквивалентными формулами. R57 = (R5 * R7) / R5 + R4 + R7 = 50 * 70 / 50 + 40 + 70 = 3500 / 160 = 21,8 Ом; R45 = (R4 * R5) / R5 + R4 + R7 = 40 * 50 / 50 + 40 + 70 = 2000 / 160 = 12,5 Ом; R47 = (R4 * R7) / R5 + R4 + R7 = 40 * 70 / 50 + 40 + 70 = 2800 / 160 = 17,5 Ом.

Теперь эквивалентный контур можно подставить в схему вместо треугольника. В результате цепь будет состоять из трёх последовательно соединённых резисторов R1, R2 и R45. Общий импеданс для них будет равен: Rx = R1 + R2 + R45 = 10 + 20 + 17,5 = 47,5 Ом. Аналогично можно вычислить параметр и для второго контура: Ry = R6 + R57 = 60 + 21,8 = 81,8 Ом. Останется найти сопротивление ветви, включающую R3 и R47, Rz = R3 + R47 = 30 + 17,5 = 47,5 Ом.

Теперь схема принимает довольно простой вид. Контур состоит из трёх включённых параллельно относительно друг друга резисторов Rx, Ry, Rz. Если использовать формулу нахождения эквивалента для такого типа включения, результирующее первое сопротивление будет равно: Rоб = Ry * Rz / (Ry + Rz) = 81,8 * 47,5 / (81,8 + 47,5) = 3885,5 / 129,3 = 30,05 Ом. Теперь схема уже стала одноконтурной и содержит соединение, которое будет называться последовательным.

Таким образом, эквивалентное сопротивление для схемы будет составлять: Rx + R об = 30,05 + 47,5 = 77,55 Ом. Задача решена.

🔥 Видео

Запуск двигателя по схеме "ЗВЕЗДА/ТРЕУГОЛЬНИК"Скачать

Запуск двигателя по схеме "ЗВЕЗДА/ТРЕУГОЛЬНИК"

Теоретические основы электротехники 19. Преобразование звезды в треугольник.Скачать

Теоретические основы электротехники 19. Преобразование звезды в треугольник.

Соединение трехфазных цепей звездой и треугольникомСкачать

Соединение трехфазных цепей звездой и треугольником

Описание схемы переключения электродвигателя со звезды на треугольник.Скачать

Описание схемы переключения электродвигателя со звезды на треугольник.
Поделиться или сохранить к себе: