Теорема 1 (Теорема Фалеса) . Пусть через точки ( small A, B, C, D ) расположенные на одной стороне угла проведены параллельные прямые, которые пересекают другую сторону этого угла в точках ( small A_1, B_1, C_1, D_1, ) соответственно. Тогда если равны отрезки ( small AB ) и ( small CD, ) то равны и отрезки ( small A_1B_1 ) и ( small C_1D_1. )
 |
Доказательство. Пусть ( small AB=CD ) и пусть прямые ( small AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 ) параллельны (Рис.1). Докажем, что ( small A_1B_1=C_1D_1. ) Проведем прямые ( small AB_2 ) и ( small CD_2 ) параллельно стороне ( small OD_1. ) Получили два четырехугольника ( small AB_2B_1A_1 ) и ( small CD_2D_1C_1. ) Эти четырехугольники являются параллелограммами поскольку противоположные стороны этих четырехугольников параллельны. Тогда
| ( small AB_2=A_1B_1, ) ( small CD_2=C_1D_1. ) | (1) |
Углы ( small BAB_2 ) и ( small DCD_2 ) являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых ( small AB_2 ) и ( small CD_2 ) секущей ( small AD ) (см. статью Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда
| ( small ∠BAB_2=∠DCD_2. ) | (2) |
Углы ( small ABB_2 ) и ( small CDD_2 ) являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых ( small BB_2 ) и ( small DD_2 ) секущей ( small AD. ) Тогда
| ( small ∠ABB_2=∠CDD_2. ) | (3) |
Треугольники ( small ABB_2 ) и ( small CDD_2 ) равны по второму признаку равенства треугольников так как ( small AB=CD ) и выполнены равенства (2) и (3). Следовательно ( small AB_2 = CD_2. ) Отсюда, учитывая (1) получим: ( small A_1B_1=C_1D_1. ) Теорема доказана.
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.
Формулировка теоремы
Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.
Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.
Обобщенная формулировка
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:
* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
Обратная теорема Фалеса
1. Для пересекающихся секущих
Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.
Из обратной теоремы следует:
Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.
2. Для параллельных секущих
Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.
Пример задачи
Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.
Решение
Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.
Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.
Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса может быть сформулирована не только для угла, но и для прямых. Кроме того, существует еще и обобщенная теорема Фалеса.
Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Теорема Фалеса может быть сформулирована не только для угла, но и для прямых.
Если параллельные прямые пересекают две данные прямые и отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.
Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса).
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Теорема Фалеса и ее модификации применяется в том числе, и в задачах на построение (в частности, для деления отрезка на n равных частей и при построении четвертого пропорционального отрезка).