Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»
Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.
Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.
Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
3. Аксиомы измерения
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:
Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Признаки параллельности прямых.
Решение задач на доказательство параллельности прямых.
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.
Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.
Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».
Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.
Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.
Аксиома параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.
Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║ c, b ║ c.
Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.
Проведём через точку М прямую c ┴ а.
Затем проведём прямую b ┴ c.
Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.
№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.
Сколько из них пересекает прямую р?
1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.
2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать
1.Основные фигуры планиметрии
Планиметрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости.
Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами — А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами — a, b, c, d. (Рис.1)
A, B, C, D, E — точки.
Прямые a и b параллельны, прямые а и с пересекаются в точке С, прямые b и с пересекаются в точке Е.
Точка А не принадлежит ни одной прямой. Точка В принадлежит прямой а, точка D — прямой b, точка C — прямой а и с, точка Е — прямой b и c.
Углы обозначаются так:
∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α
где h,k — полупрямые или лучи с начальной точкой О.
Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.
2.Аксиомы планиметрии
1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.
2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.
3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.
4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.
7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.
8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Пример
Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.
Доказательство
Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3
А прямая с пересекает прямую b в точке В.
Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В. Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.
Рис.3 Пересечение 3-х прямых.
Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:
или прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда т. А ∈а,b,с и т. В ∈b,c но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки А и В совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке — в точке А. Вывод: Следовательно, наше утверждение неверно, и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)
Сумма смежных углов равна 180°.
Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° — острым. Больше 90° — тупым. (Рис.5)
Видео:7 класс, 27 урок, Об аксиомах геометрииСкачать
4.Вертикальные углы
Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)
Теорема: Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть α1 β1 и α2 β2 — данные вертикальные углы. Угол α1 является смежным с углом β1. Угол β1 является смежным с углом α2. Тогда:
Точно так же можно доказать, что β1 = β2.
Рис.6 Вертикальные углы.
Видео:Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | ИнфоурокСкачать
5.Перпендикулярные прямые
Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)
Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.
Доказательство.
Пусть а данная прямая и точка А данная точка, принадлежащая прямой а. Обозначим на прямой а полупрямую а1. И отложим от полупрямой а1 угол 90° — а1b1. Тогда прямые а и b, на которых лежат полупрямые а1 и b1 перпендикулярны.
Допустим, что существует еще одна прямая, перпендикулярная прямой а, и проходящая через точку А — прямая с. Отложим от полупрямой а1 угол 90° — а1с1. Получается, что от полупрямой, от ее начальной точки (точка А) в заданную полуплоскость можно отложить еще один угол, равный 90°. А это невозможно, так как согласно аксиоме 7, от любой полупрямой, от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Поэтому не может существовать два угла в 90° с одной и той же полупрямой в заданной полуплоскости. Теорема доказана.
Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)
Доказательство.
Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Угол А = А 1 , стороны AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1 (рис 8а) .
Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А 1 В 2 = А 1 В 1 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.
Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С 1 А 1 В 1 и С 2 А 1 В 2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A 1 B 1 C 1 и A 1 B 2 C 2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 .
Рис.8 Первый признак равенства треугольников.
Второй признак равенства треугольников
Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)
Доказательство.
Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Углы А = А 1 , В = В 1 сторона AB = A 1 B 1 (рис 9) .
Возьмем третий треугольник А 1 В 2 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 2 С 2 расположим таким образом, что стороны А 1 В 1 и А 1 В 2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В 2 лежит на полупрямой А 1 В 1 , а вершина С 2 лежит в той же полуплоскости, где и С 1 . (рис 9). Т.к по условию AB = A 1 B 1 и AB = A 1 B 2 по построению, следовательно A 1 B 1 = A 1 B 2 , т.е. точки В 1 и В 2 совпадают.
Рис.9 Второй признак равенства треугольников.
Так как угол В 1 A 1 С 2 равен углу В 1 A 1 С 1 и угол А 1 В 1 С 2 равен углу А 1 В 1 С 1 , то сторона A 1 С 2 совпадает со стороной A 1 С 1 . А сторона В 1 С 2 совпадает со стороной В 1 С 1 . Т.е. вершины С 1 и С 2 совпадают. Следовательно треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником А 1 В 2 С 2 , а следовательно равен треугольнику АВС.
Третий признак равенства треугольников
Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)
Доказательство.
Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 , BС = В 1 С 1 , AС = A 1 С 1 (рис. 10) .
Возьмем третий треугольник А 1 В 1 С 2 = АВС. Треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В 1 С 2 расположим таким образом, что вершина С 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 . (рис 10). Пусть D середина отрезка C 1 C 2 . Таким образом, треугольники C 1 А 1 C 2 и C 1 В 1 C 2 — равнобедренные. А 1 D и B 1 D — медианы, а следовательно и высоты данных треугольников. Но через точку D можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой C 1 C 2 . Следовательно мы пришли к противоречию. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 — равны.
Рис.10 Третий признак равенства треугольников.
Пример 1
Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?
Доказательство:
Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно. Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.
Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.
Пример 2
Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.
Доказательство:
Проведем два отрезка от точек А и В — АХ и ВХ. Рассмотрим два треугольника АОХ и ВОХ. Сторона АО треугольника АОХ равна стороне ОВ треугольника ВОХ по условию задачи. Сторона ОХ является общей стороной для двух треугольников. Отрезок АВ представляет собой развернутый угол с вершиной в точке О, градусная мера которого составляет 180°. Так как прямая а перпендикулярна отрезку АВ, то угол АОХ равен углу ВОХ, т.е. 90°. Таким образом, получается, что треугольники АОХ и ВОХ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что сторона АХ треугольника АОХ равна стороне ВХ треугольника ВОХ при любой взятой точки Х, лежащей на прямой а. Т.е. расстояние от точки Х до точек А и В равное.
Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.
Пример 3
Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.
Решение:
Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:
Р = АВ + ВС + АС = 2
Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то
Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.
Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.
Пример 4
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.
Решение:
Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:
РABC = 2 x + 2 y = 40
РABD = x + y + z = 30
z = 30 — (x + y) = 30 — 20 = 10
Ответ: ВD = 10 метров.
Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.
Пример 5
Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU1 и ABU2 равны. Докажите, что треугольники CDU1 и CDU2 тоже равны.
Доказательство:
По условию задачи треугольники ABU1 и ABU2 равны (Рис.15). Следовательно, BU1 = BU2. Угол ABU1 равен углу ABU2. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU1 равен углу СBU2, так как эти углы являются смежными с углами ABU1 и ABU2.
Таким образом, треугольники СBU1 и СBU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU1 = BU2, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU1 равен углу BСU2 и СU1 = СU2. И следовательно, угол DСU1 равен углу DСU2, как смежные с углами BСU1 и BCU2.
А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU1 и СDU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU1 = СU2, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).
Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников.
