Конспект урока
Аксиома параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Аксиомы и теоремы.
- Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
- Параллельные и перпендикулярные прямые.
- Признаки параллельности прямых.
- Решение задач на доказательство параллельности прямых.
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.
Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.
Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».
Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».
Аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.
Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.
- Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
- На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
- От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.
Аксиома параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.
Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.
Следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство методом от противного.
Пусть a ║ c, b ║ c.
Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.
- Проведём через точку М прямую c ┴ а.
- Затем проведём прямую b ┴ c.
- Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.
№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.
Сколько из них пересекает прямую р?
1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.
2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.
Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать
Тест с ответами: “Аксиома параллельных прямых”
1. Утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений называются:
а) аксиомами +
б) признаками
в) теоремами
2. Утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем:
а) вывод
б) следствие +
в) истина
3. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны, так ли это:
а) нет
б) отчасти
в) да +
4. Сколько параллельных прямых можно провести через точку не лежащую на данной прямой:
а) одну +
б) сколько угодно
в) ни одной
5. Если прямая а параллельна прямой с, а прямая с параллельна прямой b, то прямые а и b параллельны, так ли это:
а) нет
б) отчасти
в) да +
6. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей:
а) сумма соответственных углов равна 180 градусов
б) соответственные углы равны +
в) соответственные углы не равны
7. Что может быть следствием аксиомы или теоремы:
а) утверждение, не требующее доказательства
б) утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или теоремы
в) новая теорема, для доказательства которой использована аксиома или теорема +
8. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей:
а) сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов +
б) внутренние односторонние углы не равны
в) внутренние односторонние углы равны
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и притом несколько, так ли это:
а) да
б) отчасти
в) нет +
10. Две прямые параллельны, если при пересечении их секущей:
а) внутренние накрест лежащие углы не равны
б) внутренние накрест лежащие углы равны +
в) сумма внутренних накрест лежащих углов равна 90 градусов
11. Если прямая а перпендикулярна прямой с, а прямая с перпендикулярна прямой b, то прямые а и b пересекаются, так ли это:
а) нет +
б) да
в) отчасти
12. Две прямые называются параллельными, если они:
а) пересекаются под углом 90 градусов
б) не пересекаются на плоскости +
в) пересекаются
13. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит:
а) всегда проходит прямая, параллельная данной +
б) только одна прямая, не пересекающаяся с данной
в) только одна прямая, параллельная данной
14. Соответственные углы всегда равны при:
а) двух прямых и секущей
б) одной прямой и секущей
в) двух параллельных прямых и секущей +
15. Укажите следствие аксиомы параллельных прямых:
а) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую +
б) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может не пересекать другую
в) Если отрезок или луч пересекает одну из параллельных прямых, то он пересекает и другую
16. Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и:
а) они не доказываются
б) они доказываются +
в) зависит от условия задачи
17. Почему, если одна из прямых, проходящих через точку, лежащую вне заданной прямой, параллельна этой прямой, то другие прямые, проходящие через эту точку, не могут быть ей параллельны? Указать неправильный ответ на этот вопрос:
а) любая другая прямая, если она также параллельна заданной, совпадает с первой
б) то противоречит аксиоме параллельных прямых
в) все другие прямые имеют точку пересечения с заданной прямой, хотя она может находиться на сколь угодно большом расстоянии от исходной точки +
18. Современная трактовка аксиомы: Через точку в плоскости может быть проведена только и только одна прямая параллельная данной – принадлежит древнегреческому математику:
а) Архимеду
б) Проклу +
в) Леонту
19. Если через точку, лежащую вне прямой, проведено несколько прямых, то сколько из них пересекаются с исходной прямой:
а) неизвестно, так как не сказано, сколько прямых проведено через точку
б) все, которые имеют на рисунке точку пересечения с исходной прямой
в) все, кроме параллельной прямой +
20. Аксиома параллельных прямых имеет:
а) одно следствие
б) два следствия +
в) три следствия
21. Через точку, не лежащую на прямой, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую:
а) 3 +
б) 2
в) 1
22. Как еще называются следствия аксиомы параллельных прямых:
а) свойствами параллельных кривых
б) свойствами параллельных прямых +
в) методами параллельных прямых
23. Через точку, не лежащую на прямой, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую:
а) 5
б) 1
в) 4 +
24. Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются … прямыми:
а) симметричными
б) параллельными +
в) перпендикулярными
25. Какие углы равны при пересечении двух параллельных прямых третьей:
а) вертикальные
б) односторонние
в) соответственные +
26. Если две прямые на плоскости перпендикулярны … , то они параллельны:
а) друг другу
б) третьей прямой +
в) двум другим прямым
27. Какие углы равны при пересечении двух параллельных прямых третьей:
а) накрест лежащие +
б) вертикальные
в) смежные
28. Если две прямые параллельны третьей прямой, то:
а) они перпендикулярны
б) они пересекаются, и точка пересечения принадлежит третьей прямой
в) они параллельны +
29. Является ли аксиомой приведенное ниже выражение:
Через любые две точки проходит прямая, притом только одна:
а) да +
б) нет
в) отчасти
30. Является ли аксиомой приведенное ниже выражение:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны:
а) да
б) нет +
в) отчасти
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать
Тест по теме «Аксиома параллельных прямых»
ТЕСТ по теме «АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ»
Вычеркнуть лишние слова в скобках:
АКСИОМА – это (очевидные, принятые, исходные) положения геометрии, не требующие (объяснений, доказательств, обоснований).
Выбрать окончание формулировки аксиомы параллельных прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит…
1) только одна прямая, параллельная данной;
2) всегда проходит прямая, параллельная данной;
3) только одна прямая, не пересекающаяся с данной.
3. Что может быть следствием аксиомы или теоремы?
Указать неверные ответы.
1) Утверждение, не требующее доказательства.
2) Новая теорема, для доказательства которой использована аксиома или теорема.
3) Утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или теоремы.
4. Указать следствия аксиомы параллельных прямых.
1) Если отрезок или луч пересекают одну из параллельных прямых, то он пересекает и другую.
2) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.
3) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
4) Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг другу.
5) Если две прямые не параллельны третьей прямой, то они не параллельны между собой.
6) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может не пересекать другую.
7) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они не могут быть не параллельны между собой.
5. Указать правильный ответ на вопрос.
Если через точку, лежащую вне прямой проведено несколько прямых, то сколько из них пересекаются с исходной прямой?
1) Неизвестно, так как не сказано, сколько прямых проведено через точку.
2) Все, кроме параллельной прямой.
3) Все, которые имеют на рисунке точку пересечения с исходной прямой.
6. Почему, если одна из прямых, проходящих через точку, лежащую вне заданной прямой, параллельна этой прямой, то другие прямые, проходящие через эту точку, не могут быть ей параллельны?
Указать неправильный ответ на этот вопрос.
1) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
2) Любая другая прямая, если она также параллельна заданной, совпадает с первой.
3) Все другие прямые имеют точку пересечения с заданной прямой, хотя она может находиться на сколь угодно большом расстоянии от исходной точки.
ТЕСТ по теме «АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ»
Вычеркнуть лишние слова в скобках:
АКСИОМА – это (принятые, исходные, очевидные) положения геометрии, не требующие (объяснений, обоснований, доказательств).
Выбрать окончание формулировки аксиомы параллельных прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит…
1) всегда проходит прямая, параллельная данной;
2) только одна прямая, не пересекающаяся с данной;
3) только одна прямая, параллельная данной.
3. Что может быть следствием аксиомы или теоремы?
Указать верный ответ.
1) Новая теорема, для доказательства которой использована аксиома или теорема.
2) Утверждение, не требующее доказательства.
3) Утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или теоремы.
4. Указать следствия аксиомы параллельных прямых.
1) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.
2) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
3) Если отрезок или луч пересекают одну из параллельных прямых, то он пересекает и другую.
4) Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг другу.
5) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может не пересекать другую.
6) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они не могут быть не параллельны между собой.
7) Если две прямые не параллельны третьей прямой, то они не параллельны между собой.
5. Указать неправильный ответ на вопрос.
Если через точку, лежащую вне прямой проведено несколько прямых, то сколько из них пересекаются с исходной прямой?
1) Неизвестно, так как не сказано, сколько прямых проведено через точку.
2) Все, которые имеют на рисунке точку пересечения с исходной прямой.
3) Все, кроме параллельной прямой.
6. Почему, если одна из прямых, проходящих через точку, лежащую вне заданной прямой, параллельна этой прямой, то другие прямые, проходящие через эту точку, не могут быть ей параллельны?
Указать правильный ответ на этот вопрос.
1) Любая другая прямая, если она также параллельна заданной, совпадает с первой.
2) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
3) Все другие прямые имеют точку пересечения с заданной прямой, хотя она может находиться на сколь угодно большом расстоянии от исходной точки.
🌟 Видео
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Аксиома параллельных прямых. Видеоурок 14. Геометрия 7 класс.Скачать
28. Аксиома параллельных прямыхСкачать
Аксиома параллельных прямыхСкачать
Аксиома параллельных прямых | Геометрия 7-9 класс #28 | ИнфоурокСкачать
Гречка слушает аксиомы параллельных прямыхСкачать
7 класс, 27 урок, Об аксиомах геометрииСкачать
Урок 14 Аксиома параллельных прямых (7 класс)Скачать
Аксиома параллельных прямыхСкачать
Геометрия 7 Аксиома параллельных прямыхСкачать
Параллельные прямые (задачи).Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.Скачать
Тема 16. Аксиома параллельных прямыхСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ». Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ аксиома геометрия 7 класс АтанасянСкачать
