Абсолютная величина вектора а равна 7 чему равна абсолютная величина 5а (8 видео)

Планиметрия. Страница 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Абсолютная величина вектора а равна 7 чему равна абсолютная величина 5а

Содержание

1.Вектор и его абсолютная величина
Координаты вектора
2.Сложение векторов
3.Умножение вектора на число
6.Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Абсолютная величина числа
Абсолютная величина. Модуль.
Свойства модуля.
Основные свойства абсолютной величины.
Вещественные числа.
Комплексные числа.
Алгебраические свойства абсолютной величины.
🎦 Видео

Видео:Абсолютная величина вектораСкачать

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

Рис.1 Обозначение векторов.

Видео:Урок 2. Векторы. Абсолютная величина вектора. Модуль вектора. Геометрия 9 класс.Скачать

Координаты вектора

Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x₂-x₁ и y₂-y₁. Например, координаты вектора

с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.

Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.

Рис.2 Координаты вектора.

Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать

2.Сложение векторов

Пусть заданы два вектора со своими координатами

(b₁;b₂). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами

В векторной форме можно записать так:

Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор

параллельным переносом так, чтобы конец вектора

совпадал с началом вектора

. Тогда начало вектора

и конец вектора

и будет сумма векторов

По методу параллелограмма, если два вектора

имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор

Разностью двух векторов

называется такой вектор

, который нужно прибавить к вектору

, чтобы получить вектор

Рис.3 Сложение векторов.

Видео:Тема 7.2. Координаты вектора. Абсолютная величина.Скачать

3.Умножение вектора на число

Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:

Для любых двух векторов

число λ можно вынести за скобку λ (

Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что

Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:

Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)

Так как координаты вектора

(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов

Рис.5 Скалярное произведение векторов.

Отсюда вытекает следующий вывод:

если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

6.Пример 1

Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

от точки В (Рис.8).

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

, так же как вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

(-3;-2). Найдите вектор

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Видео:Абсолютная величина вектора а (5, 3, z) дано 9. Определите zСкачать

Абсолютная величина числа

Абсолютная величина числа
Следует различать в доказательствах их содержательную и формальную стороны.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается |x|) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:
|x|=x если х > или = 0;
|x | = -x, если х 0 Здесь предполагается, что либо обе переменные х, у положительные, либо одна из них отрицательная и меньше другой. Если первое, то есть х, у — положительные величины, то х+у = |x|+|y| = | x+y|. Если имееn место второе, то если х — положительная величина, то ей будут соответствовать все значения у, такие, при которых у = ; < x. Если оба числа являются положительными, то их сравнение даёт их сумму, которая представлена максимальным числом. Если одно из чисел отрицательно, то максимальная сумма равна положительному числу, а минимальная сумма равна отрицательному числу, равному положительному. Т.о., что представляет собой операция сравнения? — операцию сложения положительных (либо отрицательных) и сокращения положительных и отрицательных чисел. В связи с этим мы видим, что сравнение чисел с одинаковым модусом даёт их суммарное увеличение, тогда как сравнение чисел разных модусов ведет к их сокращению (уничтожению их общих частей). -5 + -2 = -7. 5+2 =7. Но -5 + 2 =-3, -2+5 =3. Сложение положительных и отрицательных чисел ведет к уничтожение (обнулению) их общих частей в соответствии с правилом: "равные противоположные числа взаимно уничтожают друг друга".
С точки зрения субъекта, рассматривающего себя в качестве положительной величины, -7 меньше +7. Для него -7 при движении слева направо плавно переходит в +7. Действительно, если субъект имел долг -7 рублей, и стал получать на каждом шаге по единице, то есть начал осуществлять счет слева направо, то в этом процессе -7 и +7 качественно не отличаются друг от друга. Но вы, конечно, заметили, что при этом образуется положительный ряд чисел. Как и обратно, если начать счет справа налево, мы будем, начиная с +7, производить отрицательный ряд чисел. И при этом в обоих случаях мы имеем дело с процессом увеличения — в одном случае положительных, в другом — отрицательных чисел. И если так, то, согласно принципу счета, для которого всякий предшествующий шаг счета есть число, меньшее последующему шагу, для счета слева направо число -7 меньше числа +7, тогда как для счета справа налево, напротив, +7 меньше -7, и при этом счет начинается с полярной величины: слева направо счет начинается с -7, справа налево — с +7.
Однако с точки зрения теории противоположностей очевидно же, что -7 и +7 равны по величине, однако, помимо модуля, числа обладают еще одним свойством, связанным с направлением счета. Так, две противоположные равные по величине (модулю) силы равны друг другу, но направлены в противоположные стороны. Мир есть мир противоположностей. И в этом мире |-7| = |+7|, то есть они равны по количеству (модулю) и противоположны по качеству (модусу). А это означает, что мы имеем дело не с непрерывным рядом увеличивающихся чисел от отрицательных к положительным, а мы имеем дело с тем, что с каждым числом связаны две его характеристики: модус — положительный либо отрицательный, и количественная характеристика. Число — это не только его модуль, но и модус, и обе эти его характеристики неотъемлемы от него.
В связи с этим, что в этом случае должна представлять собой операция вычитания, например, 5-2. Если у нас есть пять костей и мы вычитаем из них две кости, мы совершаем определенное действие. Если у нас есть 5 костей и мы прибавляем к ним две кости, это снова действие, то теперь уже противоположно направленное. Имея дело с пятью костями, мы применяем к ним отрицательное действие, то есть две кости определяем как отрицательные, то есть определяем их как отрицательные величины. И тем самым мы приходим к одной операции сравнения. Особенность такого рода подхода состоит в том, что мы целиком имеем дело с чувственным уровнем, то есть всё можем показать «на натуре». Пискунов эту мысль дает сокращенно: так как х < ; = |x|, у < ; = |y|. И это означает, что понятие абсолютной величины числа понадобилось ради зеркального отражения отрицательных чисел в положительные.

Пусть |х+y| <0
Понятие, которым объединяются операции сложения и вычитания в единство, есть операция сравнения. Если бы мы трактовали знак «+» как простой знак сравнения двух чисел, то числа х, у будут положительными или отрицательными, то есть если есть запись «х», то она читается как +х либо как -х (х = +х + -х) Знак «+» употребляется в двух значениях: как характеристика модуса переменной и как операции сравнения. Эта двойственность употребления связана с тем, что общее, родовое понятие на практике применяется всегда в конкретной форме — доминирующей стороны противоположности, вытесняющей другую сторону. В данном случае это — операция сложения, вытесняющая операцию вычитания. Однако это уже не собственно операция сложения, это именно операция сравнения, включающая в себя неявно также операцию вычитания.
Абсолютная величина суммы двух чисел, меньшей ноля, имеет место, если из двух чисел одно является отрицательным и оно больше положительного либо же оба числа являются отрицательными. Пусть х и у отрицательные. |-3+ -5| = |-8|; |-3|+|-5|=|-8| То есть абсолютная величина суммы чисел одинаковых модусов равна сумме абсолютных величин этих чисел. В данном случае выполняется принцип отражения отрицательных чисел в положительные. Однако если суммируемые числа обладают разными модулем и модусом, то положение вещей изменяется. 3+-5 =-2. -2 — это показатель рассогласования между противоположностями. Если 3 рассматривается по отношению к -5, то -5 — это показатель направления справа налево и числа шагов счета, равных 5: 1-й шаг: 3-2, 2 шаг: 2-1, 3 шаг: 1-0, 4 шаг: 0- -1, 5 шаг: -1 — -2. Если -5 рассматривается по отношению к 3, то числом 3 определяется направление счета слева направо и число шагов, равное 3: 1-й шаг -5 — -4, 2 шаг: -4 — -3, 3 шаг: -3- -2.
|3+ -5|=|-2|; Здесь -2 — показатель рассогласования между числами 3, -5. Тогда |-2| ограничивает существующую информацию отношений между противоположными числами указанием лишь на модуль рассогласования, вводя неопределенность относительно модуса. |3|+|-5|=|8|=8. В этом выражении вводится неопределенность более существенная, так как то же число |8| будет получаться при любых наборах модусов чисел. Очевидно, правило |x+y| = ; < |x|+|y| выполняется Но если есть прямая операция, то ей должна соответствовать и операция обратная. Только в этом случае будет выполняться одно — однозначное отношение. Но если из |8| следуют любые модусы модулей 5,3, то тут уже не спасает даже добавление одного модуса одного из чисел. И поэтому не случайно мы знаем правила переходов к абсолютным значениям чисел, но не знаем правил обратных переходов. Разумеется, не составляет особого труда провести исследования в этом направлении, да вот только возникает вопрос: а смысл? Однако, если что-то существует, то оно существует для чего-то, и в данном случае речь идет об отношениях "больше — меньше" относительно модулей чисел с разными модусами, а это может пригодиться лишь там, где всё множество чисел упорядочено в один ряд в направлении слева направо от бесконечно малых до бесконечно больших.

1. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. М. 1963

Видео:10.20 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины — это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль — это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютные величины, виды:

Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Свойства модуля.

Модулю присущи некоторые характерные результаты — свойства модуля.
Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. , для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,