6п на 5 на окружности

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Видео:Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

Где находится на окружности — п / 6?

Алгебра | 10 — 11 классы

Где находится на окружности — п / 6?

На единичной окружности отсчет угловначинается

от положительного направления оси х (на оси х угол в 0 градусов)

положительные углы — — — против часовой стрелки

отрицательные углы — — — ПО часовой стрелке.

П — — — соответствует углу 180 градусов, значит п / 6 — — — 180 / 6 = 30 градусов — п / 6 — — — минус 30 градусов, т.

Е. от оси х по часовой стрелке («вниз») угол в 30 градусов.

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Напишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти?

Напишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Где на окружности находися — 7п / 2?

Где на окружности находися — 7п / 2.

Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Какие из следующих утверждений верны?

Какие из следующих утверждений верны?

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3. Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

Видео:Деление окружности на 6 равных частейСкачать

Запишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти?

Запишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а её центр находится на биссектрисе первой координатной четверти.

С объяснениями плиииииииис.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Где находятся точки 5П / 2 и 7П / 2 на числовой окружности?

Где находятся точки 5П / 2 и 7П / 2 на числовой окружности?

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Диаметр окружности равен 12см?

Диаметр окружности равен 12см.

Какое расстояние может быть от центра этой окружности до точки, чтобы точка находилась внутри окружности?

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Составте уравнение окружности которая проходит через точку Р( — 2 ; — 5) и центром которой находится в точке Е(1 ; — 3)?

Составте уравнение окружности которая проходит через точку Р( — 2 ; — 5) и центром которой находится в точке Е(1 ; — 3).

Видео:1 2 2 деление окружности на 5 равных частейСкачать

Запишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а ее центр находится на биссектрисе первой координатной четверти?

Запишите уравнение окружности радиусом 5 см, которая проходит через точку (1 ; 8), а ее центр находится на биссектрисе первой координатной четверти.

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

Где на тригонометрической окружности находится ( — 3п)?

Где на тригонометрической окружности находится ( — 3п)?

Видео:Математика 5 класс. Умножение, деление, сокращение обыкновенных дробейСкачать

МНЕ ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ НУЖНО РЕШИТЬ ЭТО?

МНЕ ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ НУЖНО РЕШИТЬ ЭТО!

Концы диаметра окружности находятся в точках Е(3 ; — 4) и F( — 3 ; 4).

Нужно найти радиус окружности.

Перед вами страница с вопросом Где находится на окружности — п / 6?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

1)100% — 250 20% — x x = 20 * 250 / 100 = 50 2) 15% — 60 100% — x x = 100 * 60 / 15 = 400.

1)20% = 1 / 5 250 / 5 = 50 2)это число = 60 / 15 * 100 = 4 * 100 = 400.

А — — — — — — — — — — — — — — — 2 — — — — — — — — — — — — — — 3 — — — — — — — — — — — — — — — — + ТОЧКА 3 ИСКЛЮЧЕНА ОТВЕТ 2 Б — — — — — — — — — — — — — — — 2 — — — — — — — — — — — — — — — — — — 3 — — — — — — — — — — — — — — — + — + ОТВЕТ 3 В — — — — ..

Все очень просто и легко) 5z — 29 / 4 = — 16 5z = — 16 + 29 / 4 5z = — 35 / 4 5z = — 8. 75 z = 1. 75 Ответ : 1. 75.

Видео:Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$	$$ -frac+2pi k $$
Четыре базовых точки, через каждые 90°	Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac+frac $$	$$ -frac $$
Три базовых точки, через каждые 120°	Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

🔥 Видео

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

Деление окружности на 6 равных частейСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать