В тупоугольном треугольнике большая сторона (2 видео)

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

Содержание

Виды треугольников
Как определить вид треугольника
Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках
Тупоугольный треугольник
Что такое тупоугольный треугольник
Элементы тупоугольного треугольника
Формулы площади тупоугольного треугольника
Пример решения задачи
Тупоугольный треугольник: длина сторон, сумма углов. Описанный тупоугольный треугольник
Разбираемся с понятиями
Правильное начертание
Основные линии
Работа с окружностями
Вписанные треугольники
Описанные треугольники
📸 Видео

Виды треугольников

Остроугольный треугольник — это треугольник,
в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой.

Тупоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов тупой.

Как определить вид треугольника

Для того, чтобы понять какой треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный
нужно знать какая градусная мера у углов в треугольнике.

Если один из углов в треугольнике прямой, значит треугольник прямоугольный. Все углы острые в треугольнике — значит треугольник остроугольный. Если в треугольнике один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный.

В произвольном треугольнике все углы острые, или два угла острые, а третий прямой или тупой. Если в треугольнике вам известно, что один углов тупой или прямой, значит сумма двух других углов не больше 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике стороны напротив острых углов называются катетами, а сторона напротив прямого угла называется гипотенузой.

Градусные меры острого, тупого, прямого углов в треугольниках

Чтобы понять как называется угол и как называется треугольник с этими углами — надо знать его градусную меру:

Острый угол в любом из треугольников не больше 90 градусов.
Прямой угол в любом из треугольников равен 90 градусам.
Тупой угол в любом из треугольников больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Тупоугольный треугольник

Видео:Почему в треугольнике против большей стороны - больший угол ➜ ДоказательствоСкачать

Что такое тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — геометрическая фигура на плоскости, которая представляет собой треугольник, один из углов которого является тупым, то есть больше 90º.

Такой треугольник не может быть прямоугольным и равносторонним, но может быть равнобедренным.

Сумма углов треугольника равна 180º. Именно поэтому только один из них может быть больше 90º, два других всегда острые. Это единственная особенность данной фигуры. Подход к решению задач с такой фигурой не отличается от решения задач с треугольниками других типов.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Элементы тупоугольного треугольника

Помимо сторон и углов, тупоугольный треугольник имеет следующие элементы:

Внешний угол — тот, который смежен с внутренним, всего их шесть, по два на один внутренний. Внешний угол тупого всегда будет острым, острого — тупым.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с противолежащей стороной и делит ее пополам. Все медианы пересекаются друг с другом в одной точке (центроиде). Эта точка делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины.
Высота — перпендикуляр, который проведен из высоты треугольника на противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике может лежать за пределами фигуры.
Биссектриса — прямая, делящая угол пополам. Делит противоположную сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам фигуры. Точка, которая является пересечением биссектрис, также является центром вписанной окружности.

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

Формулы площади тупоугольного треугольника

Для нахождения площади, периметра и других показателей тупоугольного треугольника используются те же формулы, что и для вычисления любого произвольного треугольника.

Площадь данной фигуры можно найти при помощи следующих формул:

S = ½ * x * h , где х — сторона;

S = √ p * ( p — x ) * ( p — y ) * ( p — z ) ,

p — полупериметр, p = ( x + y + z ) / 2

S = x * y * z / 4 * R , R — радиус описанной окружности;

S = p * r , p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Видео:Тупоугольный треугольник для острого умаСкачать

Пример решения задачи

Найти площадь тупоугольного треугольника, у которого стороны равны x=9, y=5, z=6.

Для решения задачи стоит использовать формулу площади с полупериметром.

p = ( x + y + z ) / 2 , p = ( 9 + 5 + 6 ) / 2 = 20 / 2 = 10 .

S = √ p * ( p — x ) * ( p — y ) * ( p — z ) , S = √ 10 * ( 10 — 9 ) * ( 10 — 5 ) * ( 10 — 6 ) = √ 10 * 1 * 5 * 4 = √ 200 = 10 √ 2

Видео:Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать

Тупоугольный треугольник: длина сторон, сумма углов. Описанный тупоугольный треугольник

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют «простейший многоугольник» с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является тупым углом.

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения площади треугольника математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Видео:В тупоугольном треугольнике все углы тупые. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о .

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону – на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2 : 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр – это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Видео:8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном – за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R – это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о .

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Видео:ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется квадратному корню из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p – это полупериметр треугольника, c, v, b – его стороны.