Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
- Свойства прямоугольного треугольника
- Определение прямоугольного треугольника
- Свойства прямоугольного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Пример задачи
- Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
- теория по математике 📈 планиметрия
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Теорема Пифагора
- Египетский треугольник
- Пифагоровы тройки
- 🔍 Видео
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства прямоугольного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.
Видео:7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Определение прямоугольного треугольника
Прямоугольным называют треугольник, в котором один из трех углов является прямым, т.е. равным 90°.
Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным – когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой составляет 45°.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Свойства прямоугольного треугольника
Свойство 1
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равняется 90°.
α + β = 90°
Сумма всех углов любого треугольника составляет 180°. Т.к. один угол равен 90°, на два других, также, остается 90°.
Свойство 2
Катет прямоугольного треугольника, расположенный напротив угла в 30°, равняется половине его гипотенузы.
В нашем случае, катет AB лежит напротив ∠ACB = 30°. Следовательно:
Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника в два раза меньше длины его гипотенузы, значит угол напротив этого катета равняется 30°.
Свойство 3
Терему Пифагора можно, также, отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно ее формулировке, сумма квадратов катетов (a и b) равняется квадрату гипотенузы (c).
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.
Свойство 4
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равняется половине гипотенузы.
Свойство 5
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной вокруг него окружности.
Согласно свойству 4, рассмотренному выше, медиана BO равняется половине гипотенузы AC и, одновременно, радиусу окружности, описанной вокруг △ABC.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Пример задачи
В качестве примера давайте рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Катет BC расположен напротив угла в 30°. Нужно доказать, что BC в два раза меньше гипотенузы AB.
Решение
Нарисуем чертеж по условиям задачи, и зеркально отразим получившийся треугольник.
Получаем △ABD, в котором ∠BAD равен 60° (30° + 30°). Т.к. все три угла данного треугольника равны, он является равносторонним. Следовательно, AD = AB = BD.
Отрезки BC и CD равны между собой (зеркально отраженные), и каждый из них составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равняется AB.
Таким образом, BC в два раза меньше AB (или AB = 2BC).
Видео:Свойства прямоугольного треугольника - 7 класс геометрияСкачать
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Видео:35. Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
- В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .
Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
- Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
- по катетам;
- по катету и прилежащему острому углу;
- по гипотенузе и острому углу;
- по гипотенузе и катету.
Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.
🔍 Видео
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Некоторые свойства прямоугольного треугольника | Геометрия 7-9 класс #35 | ИнфоурокСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольникаСкачать
ТОП-5 свойств || Прямоугольный треугольник для решения задачСкачать
Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Некоторые свойства прямоугольных треугольников.Скачать
7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА §18 геометрия 7 классСкачать
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать