Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).
(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть
- Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
- Про непостоянство четвертей:
- Единичная числовая окружность на координатной плоскости
- п.1. Понятие тригонометрии
- п.2. Числовая окружность
- п.3. Градусная и радианная мера угла
- п.4. Свойства точки на числовой окружности
- п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
- п.6. Примеры
- Где на числовой окружности 3п
- Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
- Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )
- Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )
- Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )
- Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )
- Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
- Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).
- Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).
- Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
- А теперь подробно о тригонометрическом круге:
- Единичная числовая окружность на координатной плоскости
- п.1. Понятие тригонометрии
- п.2. Числовая окружность
- п.3. Градусная и радианная мера угла
- п.4. Свойства точки на числовой окружности
- п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
- п.6. Примеры
- 💡 Видео
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .
Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.
Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.
Пример (ЕГЭ):
((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную. Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать Единичная числовая окружность на координатной плоскостип.1. Понятие тригонометрииТригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами. Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол. Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают: п.2. Числовая окружностьМы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
п.3. Градусная и радианная мера углаУглы можно измерять в градусах или в радианах. В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
п.4. Свойства точки на числовой окружностиПостроим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружностиКаждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
п.6. ПримерыПример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам. Видео:Отбор корней по окружностиСкачать Где на числовой окружности 3пВидео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать Как обозначать числа с пи на числовой окружности?Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности. Видео:Отбор корней по окружностиСкачать Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности. Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности. Отметим точку (frac ) . (frac ) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности. Обозначим на окружности точки (-) (frac ) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении. Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении. Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac ) . Для этого дробь (frac ) переведем в смешанный вид (frac ) (=1) (frac ) , т.е. (frac ) (=π+) (frac ) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть. Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac ) . Видео:Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac ) , (frac ) и (frac ) . (frac ) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac ) (=π:3)), поэтому расстояние (frac ) – это треть от полукруга. (frac ) – это половина (frac ) (ведь (frac ) (=) (frac ) (:2)) поэтому расстояние (frac ) – это половина от расстояния (frac ) . Вот так они расположены друг относительно друга: Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac ) ,(π), (frac ) , (frac ) , (frac ) , (frac ) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно. Разные расстояние на окружности наглядно:
Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )Обозначим на окружности точку (frac ) , для этого выполним следующие преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=π+) (frac ) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac ) . Отметим на окружности точку (-) (frac ) . Преобразовываем: (-) (frac ) (=-) (frac ) (-) (frac ) (=-π-) (frac ) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac ) . Нанесем точку (frac ) , для этого преобразуем (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (-) (frac ) (=2π-) (frac ) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac ) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac ) . Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов. Из этого примера можно сделать вывод: Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты». Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)). Кстати, там же будут находиться все нечетные (π). Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).Сейчас обозначим число (frac ) . Как обычно, преобразовываем: (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=3π+) (frac ) (=2π+π+) (frac ) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac ) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac ) (т.е. половину окружности и еще четверть). Отметим (frac ) . Вновь преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=5π+) (frac ) (=4π+π+) (frac ) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac ) – и мы найдем место точки (frac ) . Нанесем на окружность число (-) (frac ) . Обозначим (-) (frac ) . Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисункеТригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Вот что мы видим на этом рисунке: Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать А теперь подробно о тригонометрическом круге:Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций. Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки. Полный круг — градусов. Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Всё это легко увидеть на нашем рисунке. Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до : Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество: Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ). Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы. Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке. Легко заметить, что Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть: где — целое число. То же самое можно записать в радианах: Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению, Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать Единичная числовая окружность на координатной плоскостип.1. Понятие тригонометрииТригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами. Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол. Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают: п.2. Числовая окружностьМы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
п.3. Градусная и радианная мера углаУглы можно измерять в градусах или в радианах. В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
п.4. Свойства точки на числовой окружностиПостроим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружностиКаждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
п.6. ПримерыПример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2. Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^ =frac .\ EC=60^ =frac .\ AE=EC+CD=90^ +30^ =120^ =frac .\ ED=EC+CD=60^ +90^ =150^ =frac . end Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; frac ; frac ; frac ).
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; 5pi; frac ; frac ).
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb )), запишите количество полученных базовых точек.
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам. 💡 Видео3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать 🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать |