3п на окружности в какой четверти

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

3п на окружности в какой четверти

(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть

Содержание
  1. Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
  2. Про непостоянство четвертей:
  3. Единичная числовая окружность на координатной плоскости
  4. п.1. Понятие тригонометрии
  5. п.2. Числовая окружность
  6. п.3. Градусная и радианная мера угла
  7. п.4. Свойства точки на числовой окружности
  8. п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
  9. п.6. Примеры
  10. Где на числовой окружности 3п
  11. Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
  12. Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )
  13. Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )
  14. Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )
  15. Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )
  16. Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
  17. Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).
  18. Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).
  19. Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
  20. А теперь подробно о тригонометрическом круге:
  21. Единичная числовая окружность на координатной плоскости
  22. п.1. Понятие тригонометрии
  23. п.2. Числовая окружность
  24. п.3. Градусная и радианная мера угла
  25. п.4. Свойства точки на числовой окружности
  26. п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
  27. п.6. Примеры
  28. 💡 Видео

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

3п на окружности в какой четверти

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac) , но и углы от (2π) до (frac) , и от (4π) до (frac) , и от (6π) до (frac) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

3п на окружности в какой четверти

((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

3п на окружности в какой четвертиЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.3п на окружности в какой четверти

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

3п на окружности в какой четвертиНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

3п на окружности в какой четвертиКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
3п на окружности в какой четверти
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

3п на окружности в какой четверти

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ 3п на окружности в какой четверти
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
3п на окружности в какой четверти
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ 3п на окружности в какой четверти
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
3п на окружности в какой четверти
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ 3п на окружности в какой четверти
а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
3п на окружности в какой четверти

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

3п на окружности в какой четверти

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

3п на окружности в какой четверти

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

3п на окружности в какой четверти

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

3п на окружности в какой четвертиСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
3п на окружности в какой четверти
Четыре базовых точки, через каждые 90°
3п на окружности в какой четверти
Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac+frac $$$$ -frac $$
3п на окружности в какой четверти
Три базовых точки, через каждые 120°
3п на окружности в какой четверти
Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Где на числовой окружности 3п

Видео:В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

3п на окружности в какой четверти

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

3п на окружности в какой четверти

Отметим точку (frac ) . (frac ) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

3п на окружности в какой четверти

Обозначим на окружности точки (-) (frac ) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

3п на окружности в какой четверти

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

3п на окружности в какой четверти

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac ) . Для этого дробь (frac ) переведем в смешанный вид (frac ) (=1) (frac ) , т.е. (frac ) (=π+) (frac ) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

3п на окружности в какой четверти

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac ) .

Видео:Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

Вычисление значений тригонометрических функций

Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac ) , (frac ) и (frac ) .
(frac ) – это половина от (frac ) (то есть, (frac ) (=) (frac ) (:2)) , поэтому расстояние (frac ) – это половина четверти окружности.

3п на окружности в какой четверти

(frac ) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac ) (=π:3)), поэтому расстояние (frac ) – это треть от полукруга.

3п на окружности в какой четверти

(frac ) – это половина (frac ) (ведь (frac ) (=) (frac ) (:2)) поэтому расстояние (frac ) – это половина от расстояния (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Вот так они расположены друг относительно друга:

3п на окружности в какой четверти

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac ) ,(π), (frac ) , (frac ) , (frac ) , (frac ) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

3п на окружности в какой четверти3п на окружности в какой четверти

3п на окружности в какой четверти3п на окружности в какой четверти

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )

Обозначим на окружности точку (frac ) , для этого выполним следующие преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=π+) (frac ) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Отметим на окружности точку (-) (frac ) . Преобразовываем: (-) (frac ) (=-) (frac ) (-) (frac ) (=-π-) (frac ) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Нанесем точку (frac ) , для этого преобразуем (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (-) (frac ) (=2π-) (frac ) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac ) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Формулы приведения - как их легко выучить!

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

3п на окружности в какой четверти

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

3п на окружности в какой четверти

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac ) . Как обычно, преобразовываем: (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=3π+) (frac ) (=2π+π+) (frac ) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac ) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac ) (т.е. половину окружности и еще четверть).

3п на окружности в какой четверти

Отметим (frac ) . Вновь преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=5π+) (frac ) (=4π+π+) (frac ) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac ) – и мы найдем место точки (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Нанесем на окружность число (-) (frac ) .
(-) (frac ) (= -) (frac ) (-) (frac ) (=-10π-) (frac ) . Значит, место (-) (frac ) совпадает с местом числа (-) (frac ) .

3п на окружности в какой четверти

Обозначим (-) (frac ) .
(-) (frac ) (=-) (frac ) (+) (frac ) (=-5π+) (frac ) (=-4π-π+) (frac ) . Для обозначение (-) (frac ) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac ) .

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • 3п на окружности в какой четверти

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Единичная числовая окружность на координатной плоскости

    п.1. Понятие тригонометрии

    Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
    Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

    Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

    Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
    1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
    2) использование тригонометрических функций в геометрии.

    п.2. Числовая окружность

    Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
    Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

    3п на окружности в какой четвертиЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
    Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
    Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
    Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.3п на окружности в какой четверти

    п.3. Градусная и радианная мера угла

    Углы можно измерять в градусах или в радианах.
    Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
    Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

    В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

    3п на окружности в какой четвертиНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
    Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
    Длина дуги AB: (l_=frac =frac =frac .)
    Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac =frac =frac $$
    30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
    (frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(frac )(pi)(frac )(2pi)

    п.4. Свойства точки на числовой окружности

    Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

    3п на окружности в какой четвертиКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
    При t=0, M(0)=A.
    При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
    AM=t. Точка M — искомая.
    При t Например:
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac , frac , frac , frac , pi), а также (-frac , -frac , -frac , -frac , -pi)
    Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
    3п на окружности в какой четверти
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac , frac , frac ), и (-frac ).
    Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac right)=Mleft(frac +2pi kright)\ frac -2pi=-frac \ frac +2pi=frac \ frac +4pi=frac end

    3п на окружности в какой четверти

    п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

    Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

    Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
    Отрезок
    $$ -frac lt t lt frac $$ 3п на окружности в какой четверти
    а также, с учетом периода $$ -frac +2pi klt tltfrac +2pi k $$
    3п на окружности в какой четверти
    Интервал
    $$ -frac leq t leq frac $$ 3п на окружности в какой четверти
    а также, с учетом периода $$ -frac +2pi kleq tleqfrac +2pi k $$
    3п на окружности в какой четверти
    Полуинтервал
    $$ -frac leq t ltfrac $$ 3п на окружности в какой четверти
    а также, с учетом периода $$ -frac +2pi kleq tltfrac +2pi k $$
    3п на окружности в какой четверти

    п.6. Примеры

    Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
    Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

    3п на окружности в какой четверти

    Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^ =frac .\ EC=60^ =frac .\ AE=EC+CD=90^ +30^ =120^ =frac .\ ED=EC+CD=60^ +90^ =150^ =frac . end

    Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; frac ; frac ; frac ).

    Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac =-90^ , frac =135^ \ frac =210^ , frac =315^ end

    3п на окружности в какой четверти

    Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac ; 5pi; frac ; frac ).

    Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
    Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac =frac cdotpi=-6pi+frac rightarrow frac =90^ \ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^ \ frac =frac pi=3pi-frac rightarrow pi-frac =frac \ frac =frac pi=7pi-frac rightarrow pi-frac =frac end

    3п на окружности в какой четверти

    Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

    3п на окружности в какой четвертиСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac =1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac approx frac =4,71, 2piapprox 6,28 end

    (fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
    (pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
    (frac lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
    (7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

    Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb )), запишите количество полученных базовых точек.

    $$ frac $$$$ -frac +2pi k $$
    3п на окружности в какой четверти
    Четыре базовых точки, через каждые 90°
    3п на окружности в какой четверти
    Две базовых точки, через каждые 180°
    $$ frac +frac $$$$ -frac $$
    3п на окружности в какой четверти
    Три базовых точки, через каждые 120°
    3п на окружности в какой четверти
    Пять базовых точек, через каждые 72°

    Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

    💡 Видео

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать

    Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

    Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минут
    Поделиться или сохранить к себе: