2п и 4п на окружности

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

2п и 4п на окружности

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

2п и 4п на окружности

Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

2п и 4п на окружности

Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

2п и 4п на окружности

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

2п и 4п на окружности

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

2п и 4п на окружности

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
(frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

2п и 4п на окружности

(frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

2п и 4п на окружности

(frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

2п и 4п на окружности

Вот так они расположены друг относительно друга:

2п и 4п на окружности

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

2п и 4п на окружности2п и 4п на окружности

2п и 4п на окружности 2п и 4п на окружности

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

2п и 4п на окружности

Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

2п и 4п на окружности

Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

2п и 4п на окружности

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

2п и 4п на окружности

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

2п и 4п на окружности

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

2п и 4п на окружности

Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

2п и 4п на окружности

Нанесем на окружность число (-) (frac) .
(-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

2п и 4п на окружности

Обозначим (-) (frac) .
(-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • 2п и 4п на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

    Единичная числовая окружность на координатной плоскости

    п.1. Понятие тригонометрии

    Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
    Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

    Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

    Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
    1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
    2) использование тригонометрических функций в геометрии.

    п.2. Числовая окружность

    Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
    Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

    2п и 4п на окружностиЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
    Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
    Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
    Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.2п и 4п на окружности

    п.3. Градусная и радианная мера угла

    Углы можно измерять в градусах или в радианах.
    Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
    Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

    В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

    2п и 4п на окружностиНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
    Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
    Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
    Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
    30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
    (frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

    п.4. Свойства точки на числовой окружности

    Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

    2п и 4п на окружностиКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
    При t=0, M(0)=A.
    При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
    AM=t. Точка M — искомая.
    При t Например:
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
    Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
    2п и 4п на окружности
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
    Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

    2п и 4п на окружности

    п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

    Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

    Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
    Отрезок
    $$ -frac lt t lt frac $$ 2п и 4п на окружности
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
    2п и 4п на окружности
    Интервал
    $$ -frac leq t leq frac $$ 2п и 4п на окружности
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
    2п и 4п на окружности
    Полуинтервал
    $$ -frac leq t ltfrac $$ 2п и 4п на окружности
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
    2п и 4п на окружности

    п.6. Примеры

    Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
    Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

    2п и 4п на окружности

    Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

    Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

    Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

    2п и 4п на окружности

    Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

    Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
    Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

    2п и 4п на окружности

    Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

    2п и 4п на окружностиСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

    (fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
    (pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
    (fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
    (7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

    Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

    $$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
    2п и 4п на окружности
    Четыре базовых точки, через каждые 90°
    2п и 4п на окружности
    Две базовых точки, через каждые 180°
    $$ frac+frac $$$$ -frac $$
    2п и 4п на окружности
    Три базовых точки, через каждые 120°
    2п и 4п на окружности
    Пять базовых точек, через каждые 72°

    Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

    📹 Видео

    Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать

    КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)

    Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

    Вычисление значений тригонометрических функций

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    1. Числовая окружность. 10 классСкачать

    1. Числовая окружность. 10 класс

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

    Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    Точки на числовой окружностиСкачать

    Точки на числовой окружности

    Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

    Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

    Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

    Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок
    Поделиться или сохранить к себе: