Для того, чтобы научиться решать задачи из задания В6 на нахождение радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул. Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике.
И применить эти знания в немного другой ситуации.
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.
Посмотрим, как соотносятся между собой радиусы вписанной и описанной окружности и сторона правильного многоугольника. Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника:
Здесь
АВ — сторона правильного треугольника
ОК — радиус вписанной окружности
ОВ, ОА — радиусы описанной окружности
Очевидно, что треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.
Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.
Угол AOB= , где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол — то есть его величину мы знаем всегда.
радиус вписанной окружности r — является прилежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ
половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ
радиус описанной окружности R является гипотенузой прямоугольного треугольника ОКВ
Решим несколько задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1 . Задание B7 (№ 27944)
Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Проведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш «волшебный» прямоугольный треугольник:
По условию , надо найти
Тогда
Ответ: 4
2 . Задание B7 (№ 27929)
Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
В этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:
Угол АОВ=
Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, . Отсюда
Треугольник АОВ равнобедренный с углом , а, значит, равносторонний. Следовательно, и
Ответ: 24.
Запомните : в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.
3 . Задание B7 (№ 27917)
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Рассмотрим треугольник ВОК:
Ответ: 1,5
4. Задание B7 (№ 27909)
Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Рассмотрим треугольник ВОК:
Ответ: 0,5
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
- 1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?
- Сторона правильного треугольника равна корню из 3?
- Сторона правильного шестиугольника равна 2 см?
- Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см?
- Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
- Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности?
- Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а?
- Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
- Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7?
- 1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3?
- Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3?
- Теорема синусов
- Доказательство теоремы синусов
- Доказательство следствия из теоремы синусов
- Теорема о вписанном в окружность угле
- Примеры решения задач
- Запоминаем
- 📽️ Видео
Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. Урок 10. Геометрия 9 классСкачать
1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?
Геометрия | 5 — 9 классы
1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы).
Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.
2. ) Задача по теме «Подобие треугольников» : а) одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°.
Найдите все возможные значения периметра треугольника ; б) один из углов треугольника 150°, а две из его сторон равны 2 и 7.
Найдите все возможные значения площади треугольника.
R = a : (2 * tg45) = a / 2 — дляквадрата
r = a : (2 * tg60) = a ; (2√3) — длятреугольника
r = a : (2 * tg30) = a * √3 : (2) — дляшестиугольника.
Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Сторона правильного треугольника равна корню из 3?
Сторона правильного треугольника равна корню из 3.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Сторона правильного шестиугольника равна 2 см?
Сторона правильного шестиугольника равна 2 см.
Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см?
Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см.
Видео:Соотношение между сторонами и углами треугольника. Решение треугольников. Урок 9. Геометрия 9 классСкачать
Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см.
Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности?
Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности.
) Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а?
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а.
Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
Видео:Зависимость между площадью треугольника и радиусом описанной окружности 34Скачать
Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см.
Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окуржность.
Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7?
Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7.
Найдите все возможные значения площади треугольника.
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3?
1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3.
Найдите радиус окружности ю, вписанной в этот треугольник 2.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен корень из 3 / 2.
Найдите сторону этого треугольника.
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3?
Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3.
Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник.
Вопрос 1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.
О — центр основания. DO = 8 — высота пирамиды. Пусть Н — середина ВС. Тогда, AH⊥BC как медиана и высота равностороннего треугольника, DH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника. ⇒ ∠DHA — линейный угол двугранного угла при ребре основ..
Угол С = 112 Угол аов = 180 — (24 + 32) = 124 Угол вос = 180 — (32 + 56) = 92 Угол соа = 180 — (24 + 56) = 100.
По условию СМ перпендикулярна АВ. Значит, СМ высота ( перпендикулярна) и медиана — т. К. М — середина. Если высота треугольника одновременно и его медиана, то этот треугольник –равнобедренный. Следовательно, ∆ АСВ равнобедренный, и АС = ВС = 8 см..
1. Центральным углом называется угол, вершиной которого является центр окружности, сторонами — радиусы. Величинацентральногоугларавнаугловойвеличине дуги, накоторую он опирается. 2. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружно..
BO = 18 — 14 = 4 см CP = 18 — 12 = 6 см PO = 18 — 4 — 6 = 8 cм.
Презнания гасударством способность физических лиц (граждан) и юрестических лиц иметь права инести обязанности, предосмотрение и допускаемые законы.
R = 10смh = 5смдлина окружности основанияL = 2pi * RSбок = L * h = 2pi * R * h = 2pi * 10 * 5 = 100Пи Или 314см2.
Диагонали прямоугольника равны, при пересечении делятся пополам и со сторонами образуют равнобедренные треугольники. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠СОD = ∠АОВ = 50° — вертикальные. Сумма углов треугольника 180°. Углы при ..
По т. Пифагора боковая сторона равняется 10 = √(6² + 8²) = √100. S = 0. 5 * 12 * 8 = 48 ; площадь через боковую сторону S = 10 * h * 0. 5 = 5h. 48 = 5h ; h = 48 / 5 = 9. 6.
34вот ответ и все я тоже такую задачу решал.
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Теорема синусов
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
- Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
- Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачуСкачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
- sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
- sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
- sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
- Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>