Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Правильные многоугольники: радиус вписанной и описанной окружности. Задание В6

Для того, чтобы научиться решать задачи из задания В6 на нахождение радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул. Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике.

И применить эти знания в немного другой ситуации.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностиОкружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.

Посмотрим, как соотносятся между собой радиусы вписанной и описанной окружности и сторона правильного многоугольника. Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностиЗдесь

АВ — сторона правильного треугольника

ОК — радиус вписанной окружности

ОВ, ОА — радиусы описанной окружности

Очевидно, что треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.

Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.

Угол AOB= Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности, где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности— то есть его величину мы знаем всегда.

радиус вписанной окружности r — является прилежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ

половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ

радиус описанной окружности R является гипотенузой прямоугольного треугольника ОКВ

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Решим несколько задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

1 . Задание B7 (№ 27944)

Около окружности, радиус которой равен Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностиПроведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш «волшебный» прямоугольный треугольник: Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

По условию Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности, надо найти Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Тогда Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Ответ: 4

2 . Задание B7 (№ 27929)

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностиВ этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Угол АОВ=Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности. Отсюда Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Треугольник АОВ равнобедренный с углом Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности, а, значит, равносторонний. Следовательно, Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностии Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Ответ: 24.

Запомните : в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

3 . Задание B7 (№ 27917)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности. Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Рассмотрим треугольник ВОК:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Ответ: 1,5

4. Задание B7 (№ 27909)

Сторона правильного треугольника равна Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружностиРассмотрим треугольник ВОК:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Ответ: 0,5

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

Содержание
  1. 1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?
  2. Сторона правильного треугольника равна корню из 3?
  3. Сторона правильного шестиугольника равна 2 см?
  4. Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см?
  5. Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
  6. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности?
  7. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а?
  8. Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?
  9. Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7?
  10. 1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3?
  11. Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3?
  12. Теорема синусов
  13. Доказательство теоремы синусов
  14. Доказательство следствия из теоремы синусов
  15. Теорема о вписанном в окружность угле
  16. Примеры решения задач
  17. Запоминаем
  18. 📽️ Видео

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. Урок 10. Геометрия 9 классСкачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Урок 10. Геометрия 9 класс

1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?

Геометрия | 5 — 9 классы

1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы).

Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

2. ) Задача по теме «Подобие треугольников» : а) одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°.

Найдите все возможные значения периметра треугольника ; б) один из углов треугольника 150°, а две из его сторон равны 2 и 7.

Найдите все возможные значения площади треугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

R = a : (2 * tg45) = a / 2 — дляквадрата

r = a : (2 * tg60) = a ; (2√3) — длятреугольника

r = a : (2 * tg30) = a * √3 : (2) — дляшестиугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Сторона правильного треугольника равна корню из 3?

Сторона правильного треугольника равна корню из 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Сторона правильного шестиугольника равна 2 см?

Сторона правильного шестиугольника равна 2 см.

Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см?

Найдите сторону правильного треугольника вписанного в окружность если сторона правильного шестиугольника описанного около этой окружности равна 2 см.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Соотношение между сторонами и углами треугольника. Решение треугольников. Урок 9. Геометрия 9 классСкачать

Соотношение между сторонами и углами треугольника. Решение треугольников. Урок 9. Геометрия 9 класс

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см.

Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности?

Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности.

) Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а?

Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а.

Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Зависимость между площадью треугольника и радиусом описанной окружности 34Скачать

Зависимость между площадью треугольника и радиусом описанной окружности  34

Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см?

Задача : Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см.

Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окуржность.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7?

Один из углов треугольника 150, а две из его сторон равны 2 и 7.

Найдите все возможные значения площади треугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3?

1. Сторона правильного треугольника равна 4корня из 3.

Найдите радиус окружности ю, вписанной в этот треугольник 2.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен корень из 3 / 2.

Найдите сторону этого треугольника.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3?

Сторона правильного треугольника равна 8корням из 3.

Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник.

Вопрос 1. ) Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы)?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

О — центр основания. DO = 8 — высота пирамиды. Пусть Н — середина ВС. Тогда, AH⊥BC как медиана и высота равностороннего треугольника, DH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника. ⇒ ∠DHA — линейный угол двугранного угла при ребре основ..

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Угол С = 112 Угол аов = 180 — (24 + 32) = 124 Угол вос = 180 — (32 + 56) = 92 Угол соа = 180 — (24 + 56) = 100.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

По условию СМ перпендикулярна АВ. Значит, СМ высота ( перпендикулярна) и медиана — т. К. М — середина. Если высота треугольника одновременно и его медиана, то этот треугольник –равнобедренный. Следовательно, ∆ АСВ равнобедренный, и АС = ВС = 8 см..

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

1. Центральным углом называется угол, вершиной которого является центр окружности, сторонами — радиусы. Величинацентральногоугларавнаугловойвеличине дуги, накоторую он опирается. 2. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружно..

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

BO = 18 — 14 = 4 см CP = 18 — 12 = 6 см PO = 18 — 4 — 6 = 8 cм.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Презнания гасударством способность физических лиц (граждан) и юрестических лиц иметь права инести обязанности, предосмотрение и допускаемые законы.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

R = 10смh = 5смдлина окружности основанияL = 2pi * RSбок = L * h = 2pi * R * h = 2pi * 10 * 5 = 100Пи Или 314см2.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Диагонали прямоугольника равны, при пересечении делятся пополам и со сторонами образуют равнобедренные треугольники. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠СОD = ∠АОВ = 50° — вертикальные. Сумма углов треугольника 180°. Углы при ..

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

По т. Пифагора боковая сторона равняется 10 = √(6² + 8²) = √100. S = 0. 5 * 12 * 8 = 48 ; площадь через боковую сторону S = 10 * h * 0. 5 = 5h. 48 = 5h ; h = 48 / 5 = 9. 6.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

34вот ответ и все я тоже такую задачу решал.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Теорема синусов

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Формула теоремы синусов:

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

  • Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности
    bc sinα = ca sinβ
    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачуСкачать

    ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачу

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

    Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

    9 класс, 13 урок, Теорема синусов

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Зависимость между стороной и радиусом описанной окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    📽️ Видео

    Зависимость между площадью треугольника и радиусом вписанной (описанной) окружности. Урок #9Скачать

    Зависимость между площадью треугольника и радиусом вписанной (описанной) окружности. Урок #9

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

    Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс
    Поделиться или сохранить к себе: