Задания с ответами по уравнениям окружности

В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49

Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

Ответ : О (-7; -1); R= 6

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81

Ответ : О (6; -15); R= 9

Ответ : О (0; 9); R= V͞2

Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :

В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11

Задание № 2 ( проверка)

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,

если А( -4; 7), В ( 2; 5 )

Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,

если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)

Составьте уравнение окружности с центром в точке

А(-4; 2), которая касается оси ординат.

Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;

Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением

Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек

А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.

Решение задач по теме: «Уравнение окружностей»

Разделы: Математика

За неделю до проведения урока класс делится на четыре группы. Каждая готовит презентацию, отражающую название команды.

1. Образовательные:

2. Развивающие:

3. Воспитательные:

Ход урока

I. Организационный момент.

В начале урока выдается командам оценочный лист ( Приложение 1 ) с целью самостоятельной оценки учащимися степени участия каждого члена команды в подготовке к уроку и его проведении.

Рассказываются правила урока. За каждое правильное решение команде выдается лепесток определенного цвета:

все ответы верные – красный;
одна ошибка – зеленый;
две ошибки – жёлтый.

Лепестки крепятся на магнитную доску, образуя цветок.

Итоговая оценка выставляется с учетом этого бланка, а также учитывается количество и цвет набранных командой лепестков в цветке на доске.

2. Знакомство с командами (представление презентаций, Приложение 2 ).

3. Актуализация знаний учащихся.

– На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач МЕТОДОМ КООРДИНАТ.

Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.

Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат

Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый “Аналитической геометрией”.

Сегодня я предлагаю еще раз поговорить об уравнении окружности и проследить, как алгебра помогает в решении геометрических задач.

4. Разминка.

– На доске записан ряд уравнений. Какие фигуры они задают?

Команды получают карточки с заданием. Время обдумывания 2мин.

По истечению времени идет опрос команд по очереди.

1	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.

Последнее уравнение вызывает сомнения т.к. ранее не встречалось в таком виде.

Учитель показывает как, выделив полный квадрат, получить уравнение окружности.

Оценить результат работы команд.

Выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. Если нет, то почему?

Каждая из команд получают свою карточку. Время 7 минут.

1.	1.
2.	2.
3.	3.

1.	1.
2	2
3	3

Последние уравнение в каждой карточке не задает окружность, и учащиеся поясняют почему. Оценить ответы.

1. Как могут взаимораспологаться две окружности? Дается время(3 мин.). Предлогается ребятам нарисовать различные варианты на ватмане и показать рисунки. После демонстрации и обсуждения всевозможных вариантов Предлогается следующая задача.

2. Как взаиморасположены линии заданные уравнениями?

и

Изобразите ответ на обратной стороне ватмана (на нем, заранее, нанесена система координат.)

Ответ:

O

Значит: первая внутри второй.

Результат этого задания оценивается следующим образом:

Команда, выполнившая первая – красный; вторая – зеленый; третья – желтый

После подведения итогов предлагается задача общая для всех команд.

Командам выдается карточка с кратким описанием условия. Текст задачи зачитывается.

Окружность задана уравнением .

Точка с координатами (5;4) является центром другой окружности касающейся первой внешним образом. Напишите уравнение этой окружности.

Вопросы для обсуждения:

-Поможет ли рисунок в решении задачи?

-Что можно узнать из уравнения первой окружности?

-Что надо знать, чтобы записать уравнение второй окружности?

-Как можно узнать радиус второй окружности?

Ответ:

Перед следующим заданием полезно повторить:

Какая окружность называется описанной около треугольника?

Что значит, точка принадлежит графику уравнения?

Что необходимо знать для написания уравнения окружности?

Написать уравнение окружности описанной около треугольника с заданными координатами вершин.

Какие, алгебраические, приемы могут быть использованы для решения поставленной задачи? (составление систем уравнений и приемы их решения).

1.	2.
3.	4.

Следующую задачу решает учитель.

Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?

Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)

Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.

Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.

1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1

Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.

Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)

Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.

Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:

Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.

Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.

Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k1 получим уравнение окружности в виде

.

Такая окружность называется окружностью Апполония.

Подводится итог урока. Выставляются оценки.

Задания по теме «Окружность»

Открытый банк заданий по теме окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1070

Условие

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC . Меньшая дуга AB равна 56^. Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

angle BOA = 56^. Углы OBC и OAC прямые как углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360^, можем найти угол ACB .

Ответ

Задание №1069

Условие

Точки A , B , C , расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4 . Найдите больший угол треугольника ABC . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуги, на которые опираются углы треугольника, составляют 2 , 3 и 4 из 2 + 3 + 4 = 9 частей, то есть большая из них равна frac49 окружности, 360^cdotfrac49=160^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 160^ : 2 = 80^.

Ответ

Задание №1068

Условие

Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 13 : 7 . Под каким углом видна эта хорда из точки C , принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуга, на которую опирается угол C , составляет 7 из 7+13 = 20 частей, то есть frac окружности, 360^cdot frac = 126^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 126^ : 2 = 63^.

Ответ

Задание №896

Условие

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуга составляет треть окружности, то есть 360^:3=120^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 120^:2=60^.

Ответ

Задание №51

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Прямые AC и BD являются диаметрами окружности. Угол ACB равен 21^ . Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как угол ACB вписан в окружность, то градусная мера дуги AB , на которую он опирается, в 2 раза больше величине этого угла, и равна:

cup AB=2cdotangle ACB=2cdot21^=42^

Так как BD — диаметр окружности, то его градусная мера равна 180^ . Найдем градусную меру угла дуги AD :

Так как угол AOD — центральный, то его величина равна градусной мере дуги окружности AD , следовательно:

angle AOD=cup AD=138^

Ответ

Задание №48

Условие

Угол ACB равен 54^ . Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E , равна 138^ . Найдите угол DAE . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол DAE мы можем найти зная два остальных угла треугольника ACD . Угол ACB нам известен и равен углу ACD . Угол ADC является разностью развернутого угла BDC и угла ADB . Угол ADB является вписанным в окружность, а значит его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Из условия задачи градусная мера дуги AB известна. Найдем угол ADB :

Найдем угол ADC :

Угол DAE равен углу DAC . Зная два угла треугольника, найдем искомый угол DAE :

Ответ

Задание №47

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Прямые CA и CB являются касательными к окружности. Меньшая дуга AB равна 64^ . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Прямые CA и CB являются касательными к окружности, значит они образуют прямой угол с радиусом окружности, то есть с прямыми OA и OB . Сумма углов четырехугольника равна 360^ . Найдем неизвестный угол ACB :

Ответ

Задание №46

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Угол ACO равен 27^ . Сторона CA – касательная к окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B. Найдите величину меньшей дуги окружности AB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Прямая AC является касательной к окружности, значит радиус AO образует с ней прямой угол, следовательно треугольник AOC прямоугольный. Величину меньшей дуги окружности AB вы можем найти зная градусную меру угла AOB . Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180^ , найдем угол AOB :

Так как угол AOB – центральный, то величина меньшей дуги окружности AB равна градусной мере этого угла, а значит величина дуги равна 63^