Задачи с вписанной окружностью в квадрате (4 видео)

Задача: окружность вписана в квадрат , определить площадь закрашенной области

Содержание

Условие задачи:
Найти площадь закрашенной области: S
Ответ:
Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Через сторону квадрата
Через диагональ квадрата
Примеры задач
Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат
Окружность вписанная в квадрат
Окружность описанная около квадрата
Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.
📹 Видео

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Условие задачи:

Окружность вписана в квадрат. Найти площадь закрашенной области, если сторона квадрата равна 2 м.

Дано:
Сторона квадрата, a = 2 м

Пояснение к рисунку:
O — центр окружности
R — радиус окружности
D — диаметр окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Найти площадь закрашенной области: S

Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью квадрата и площадью круга

Неизвестен радиус окружности. Из рисунка видно, что сторона квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу

Выразим радиус окружности через сторону квадрата и подставив значение, получим радиус окружности.

Формула площади искомой области на основании выкладок выше, будет выглядеть следующим образом.

Подставив уже известные значения стороны квадрата и радиуса окружности, получаем.

Видео:ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

Ответ:

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли π ≈ 3.14

Если в уже полученное выражение подставить формулу площади круга выраженную через сторону квадрата и преобразовав, получим следующую формулу, в которой площадь закрашенной области, будет сразу выражена через сторону квадрата.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

все углы прямые, то есть, равны 90°;
все стороны, как и углы, равны;
диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

Окружность описанная около квадрата

Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

угол CDA=90°;
стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
, отсюда
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
ОЕ=ЕС=;
ОЕС=90°;
ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.