О чем эта статья:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Задачи с решением на центральный угол окружности
Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.
Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.
Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.
Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.
Приведем решение Артура Ахметьянова.
Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Вписанные, центральные углы
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается .
Свойства вписанных углов 
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
В задаче 11 заметила опечатку Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется умножить результат на 2, — получим градусную меру угла АВС. Наверное, надо не умножить . а разделить. И хотела поблагодарить Вас за такой сайт. Вы просто молодец. всё очень понятно и доступно.
в задаче 11 на картинке угол АВС равен 106 , а в условии 104 .
Арина, спасибо! Исправлено.
В свойствах вписанных углов небольшая синтаксическая ошибка.
“Угол, опирающийся на диаметр – прямой”. (перед тире запятая не ставится).
Почему в 7-ой задаче angle ADC=120^, так как является смежным с angle BDA. При этом angle BDA=60^, так как опирается на дугу ВА. Тогда разве угол ADC не должен быть равен 60 градусам?
Как же угол ADC будет равен 60°, если он смежен с углом в 60°?
Благодарю вас за такой сайт,очень мне помог, и сделайте пожайлуста ещё одну задачу :Вписанный угол ABC=58гр.Найти хорду на которую опирается этот угол(заранее спасибо)
Даниил, с условием не все в порядке. Не хватает данных. Или радиус должен быть известен или еще что…
В шестой задаче угол BAD разве не будет равен 65? Угол B прямой те опирается на диаметр
Д – 25
180 – 115= 65
Можно ли так?
Угол B не прямой, он не опирается на диаметр!
🎥 Видео
Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углыСкачать
Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 1Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Найти центральный угол (bezbotvy)Скачать
Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать
Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать
Центральный угол (определение, виды углов и решение задач). Геометрия 8-9 классСкачать
Центральный угол в окружностиСкачать
ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать
Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать
Урок 2. Центральные и вписанные углы. Окружность| Решение задачСкачать
