Возьмём произвольный треугольник ABC и построим середины его сторон. Проведём высоты треугольника – они пересекутся в точке H, называемой его ортоцентром. Отметим ещё 6 точек: основания высот и середины отрезков, соединяющих H с вершинами треугольника.
Если теперь провести окружность через середины сторон треугольника, то она пройдёт и через шесть других отмеченных нами точек. Эта окружность названа в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера. Другое часто используемое название для неё – окружность 9-ти точек.
Пошевелите вершины треугольника и убедитесь, что окружность всегда проходит через указанные девять точек.
- Окружность 9 точек.
- Урок «Окружность девяти точек»
- «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
- Дистанционные курсы для педагогов
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Дистанционные курсы для педагогов
- Подарочные сертификаты
Окружность 9 точек.
В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом R/2.
В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек может располагаться следующим образом:
- Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
- Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
- Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.
Утверждение 1:
Треугольники ABC, HBC, AHC, ABH имеют общую окружность 9 точек.
Утверждение 2:
Прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC, ABH пересекаются в одной точке.
Утверждение 3:
Центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC, ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCH.
Урок «Окружность девяти точек»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Дистанционные курсы для педагогов
Описание презентации по отдельным слайдам:
Окружность девяти точек Построение окружности Эйлера с помощью GeoGebra
Окружность девяти точек Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 323 человека из 72 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 702 человека из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
- Горбовец Екатерина АлександровнаНаписать 1323 24.12.2017
Номер материала: ДБ-985960
- 24.12.2017 312
- 24.12.2017 283
- 24.12.2017 306
- 24.12.2017 257
- 24.12.2017 100
- 24.12.2017 826
- 24.12.2017 870
- 24.12.2017 2926
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
530 курсов от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Проходной балл ЕГЭ для поступления на бюджет снизился впервые за 10 лет
Время чтения: 3 минуты
В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей
Время чтения: 1 минута
Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»
Время чтения: 5 минут
Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками
Время чтения: 3 минуты
Порядка 65% выпускников российских вузов идут работать по специальности
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.