Задачи с касающимися окружностями

Задачи с касающимися окружностями

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, ADAB. Аналогично получаем, что BCAB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Задачи с касающимися окружностямиПусть Задачи с касающимися окружностямитогда Задачи с касающимися окружностями

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, Задачи с касающимися окружностямито есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Задачи с касающимися окружностямиПроведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: Задачи с касающимися окружностями

Тогда Задачи с касающимися окружностями

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что Задачи с касающимися окружностямиИз подобия треугольников AKD и AKB следует Задачи с касающимися окружностямитаким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB Задачи с касающимися окружностями

Теперь несложно вычислить Задачи с касающимися окружностями

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОСO2С = ОСR. Аналогично ОО1 = OAО1А = ОАr и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

Задачи с касающимися окружностями

Задачи с касающимися окружностями

Задачи с касающимися окружностями

а так как О1E = OO1 + ОЕ, то Задачи с касающимися окружностямиПолученное уравнение не имеет корней, что означает, что данная конфигурация невозможна.

Рассмотрим случай, когда точка Е лежит между точками О и А. В этом случае О1E = OO1ОЕ, то есть Задачи с касающимися окружностямиИз этого уравнения находим, что Задачи с касающимися окружностями

Ответ: Задачи с касающимися окружностями

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен Задачи с касающимися окружностями

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

Задачи с касающимися окружностями

Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6, Задачи с касающимися окружностями

Задачи с касающимися окружностями

Ответ: Задачи с касающимися окружностями

Я решил другим, но верным способом через площади 6 равных треугольников, перепроверил с репититором, у нас выходит ответ 126 корней из 3. Кстати именно такого альтернативного способа не хватает в решении.

Наверное, в этот момент стоило бы сравнить ваше решение с нашим и попробовать найти ошибку. В математике все просто: или ошибка есть, или ее нет.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, прямые MK и BC параллельны.

б) Опустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Задачи с касающимися окружностями

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

PH 2 = QF 2 = QO 2 − OF 2 = 25 − 1 =24,

OP 2 = OH 2 + PH 2 = 36 + 24 = 60,

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

Задачи с касающимися окружностями

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

Задачи с касающимися окружностями

Ответ: б) Задачи с касающимися окружностями

Приведём решение Марии Ковалёвой (Москва).

а) Проведём общую касательную к окружностям AT, как показано на рисунке слева. Тогда Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностямипоскольку угол между касательной и хордой равен половине заключённой между ними дуги. Тогда Задачи с касающимися окружностямиравны Соответственные углы при пересечении прямых KM и BC равны, поэтому данные прямые параллельны.

б) По обобщенной теореме синусов, в треугольниках AKM и ABC стороны KM и BC относятся так же, как радиусы данных в условии окружностей, то есть как 1 : 2. Следовательно, KM — средняя линия треугольника ABC, и Задачи с касающимися окружностямипо теореме Фалеса. Осталось найти .

Опустим перпендикуляр OH на хорду BC (см. рисунок справа). Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что Задачи с касающимися окружностями

Треугольник OAP прямоугольный, так как угол OРA опирается на диаметр. Углы OAP и OPH равны по теореме об угле между касательной и хордой. Следовательно, прямоугольные треугольники OAP и OPH подобны по острому углу. Имеем: Задачи с касающимися окружностямито есть Задачи с касающимися окружностямиСледовательно, Задачи с касающимися окружностямиПо теореме Пифагора, Задачи с касающимися окружностямиОкончательно получаем: Задачи с касающимися окружностями

Решение «сыпется», если концы хорды ВС расположить по разные стороны от диаметра (ОА). Тогда ОН, по-прежнему равный 6 из теоремы Пифагора, будет по чертежу меньше, чем параллельный ему радиус QP=5 меньшей окружности

Да, Ваше рассуждение доказывает, что этот случай невозможен.

По­че­му К се­ре­ди­на АВ при усло­вии,что ОК пер­пен­ди­ку­ляр? Что за свой­ство?

Свой­ство вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Тре­уголь­ник ОАВ — рав­но­бед­рен­ный, ОК — его вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй&nbsp— в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Задание а). Обозначим центры окружностей Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностямисоответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке Задачи с касающимися окружностямиПо свойству касательных, проведённых из одной точки, Задачи с касающимися окружностямии. Задачи с касающимися окружностямиТреугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол Задачи с касающимися окружностямипрямой, поэтому он опирается на диаметр Задачи с касающимися окружностямиЗначит, Задачи с касающимися окружностямиАналогично получаем, что Задачи с касающимися окружностямиСледовательно, прямые AD и BC параллельны.

Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, Задачи с касающимися окружностямиПусть Задачи с касающимися окружностямитогда Задачи с касающимися окружностями

У треугольников Задачи с касающимися окружностямиобщая высота, следовательно, Задачи с касающимися окружностямито есть Задачи с касающимися окружностямиАналогично, Задачи с касающимися окружностямиПлощадь трапеции ABCD равна Задачи с касающимися окружностями

Вычислим площадь трапеции Задачи с касающимися окружностямиПроведём к AD перпендикуляр Задачи с касающимися окружностямиравный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника Задачи с касающимися окружностями Задачи с касающимися окружностями

Тогда Задачи с касающимися окружностями

Следовательно, Задачи с касающимися окружностямиоткуда Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностями

Видео:Интересная задача о трёх попарно касающихся окружностяхСкачать

Интересная задача о трёх попарно касающихся окружностях

Касательная к окружности

Задачи с касающимися окружностями

О чем эта статья:

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Задачи с касающимися окружностями

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Задачи с касающимися окружностями

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Задачи с касающимися окружностями

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Задачи с касающимися окружностями

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Задачи с касающимися окружностями

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задачи с касающимися окружностями

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Задачи с касающимися окружностями

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задачи с касающимися окружностями

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задачи с касающимися окружностями

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Задачи с касающимися окружностями

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задачи с касающимися окружностями

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задачи с касающимися окружностями

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в уголСкачать

Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол

Подборка задач для работы на уроке по теме «Касание окружностей»

Видео:Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать

Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностей

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи с касающимися окружностями

Материал по теме «Касание окружностей»

Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Задачи с касающимися окружностями

«окружности касаются внешним образом ».

Задачи с касающимися окружностями

«окружности касаются внутренним образом».

Задачи с касающимися окружностями

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры . Кроме того, эта п рямая перпендикулярна касательной , проведённой в точку касания окружностей.

Задачи с касающимися окружностями

Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.

Задачи с касающимися окружностями

Если Задачи с касающимися окружностями— расстояние между центрами окружностей радиусов Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностямиобщая внешняя касательная касается окружностей в точках Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностямиобщая внутренняя в точках Задачи с касающимися окружностямии Задачи с касающимися окружностямито

Задачи с касающимися окружностями

Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2С D

Две окружности касаются в точке A . К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B . Докажите, что Задачи с касающимися окружностямиCAB = 90 o .

Задачи с касающимися окружностями

Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A . Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB .

Равенство отрезков касательных,

Вписанный прямоугольный треугольник.

Окружности радиусов r и R ( R > r ) касаются внешним образом в точке K . К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D , с большей — B и C соответственно.

а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

б) Докажите, что углы AKB и O 1 MO 2 — прямые ( O 1 и O 2 — центры окружностей).

Задачи с касающимися окружностями

Решение

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи с касающимися окружностями= 2Задачи с касающимися окружностями.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи с касающимися окружностями.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи с касающимися окружностями.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи с касающимися окружностямиAKB = 90 o .

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи с касающимися окружностями= 2Задачи с касающимися окружностями.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи с касающимися окружностями.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи с касающимися окружностями.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи с касающимися окружностямиAKB = 90 o .

а) Опустим перпендикуляр O 1 P из центра O 1 на O 2 B . Из прямоугольного треугольника O 1 PO 2 находим, что

O1O2 = r + R, O2P = Rr, O1P = Задачи с касающимися окружностями= 2Задачи с касающимися окружностями.

Поэтому AB = O 1 P = 2 Задачи с касающимися окружностями.

Поскольку MK = MB и MK = MA , то

NM = 2 MK = AB = 2 Задачи с касающимися окружностями.

б) Поскольку MO 1 и MO 2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK , то угол O 1 MO 2 — прямой.

Поскольку MA = MK = MB , то точка K лежит на окружности с диаметром AB . Поэтому Задачи с касающимися окружностямиAKB = 90 o .

Теорема Пифагора (прямая и обратная)

Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O . Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O .

Задачи с касающимися окружностями

Решение

Пусть O 1 — центр третьей окружности, OA и OB — касательные к ней ( A и B — точки касания). Тогда OO 1 — биссектриса угла AOB ,

AO 1 = 1, OO 1 = 2, Задачи с касающимися окружностямиOAO 1 = 90 o .

Поэтому Задачи с касающимися окружностямиAOO 1 = 30 o , а Задачи с касающимися окружностямиAOB = 60 o .

В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Задачи с касающимися окружностями

Решение

Пусть O и O 1 — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO 1 A известно, что

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что x = Задачи с касающимися окружностями.

Две окружности Ω 1 и Ω 2 с центрами O 1 и O 2 касаются внешним образом в точке O . Точки X и Y лежат на Ω 1 и Ω 2 соответственно так, что лучи O 1 X и O 2 Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω 2 , а из точки Y – к Ω 1 . Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O .

Задачи с касающимися окружностями

Решение

Обозначим через S точку пересечения XO 1 и YO 1 (см. рис.). Пусть r 1 и r 2 – радиусы соответствующих окружностей. Тогда Задачи с касающимися окружностями. Значит, SO || O 2 Y и Задачи с касающимися окружностями.

Пусть XZ – одна из касательных проведённых из точки X ко второй окружности, а Z – проекция S на XZ . Тогда Задачи с касающимися окружностями.
Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO , то есть S и есть центр требуемой окружности.

Вспомогательные подобные треугольники

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

1. Две касающиеся окружности с центрами O 1 и O 2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O . Найдите периметр треугольника OO 1 O 2.

2. Окружности S 1 и S 2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B , причём одна из точек пересечения окружностей S 1 и S 2 лежит на отрезке AB . Докажите, что сумма радиусов окружностей S 1 и S 2 равна радиусу окружности S .

3 . На отрезке AB взята точка C . Прямая, проходящая через точку C , пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L , а окружность с диаметром AB —в точках M и N . Докажите, что KM = LN .

4. Даны четыре окружности S 1, S 2, S 3 и S 4, причём окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 ( S 5 = S 1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

💡 Видео

Найдите площадь фигуры между тремя касающимися окружностямиСкачать

Найдите площадь фигуры между тремя касающимися окружностями

Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математикеСкачать

Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математике

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математике

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Задача о трех касающихся окружностяхСкачать

Задача о трех касающихся окружностях

Задача о радиусе окружности, касающейся трёх полуокружностейСкачать

Задача о радиусе окружности, касающейся трёх полуокружностей

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Найдите площадь между тремя касающимися окружностями ★ Попробуй решить самСкачать

Найдите площадь между тремя касающимися окружностями ★ Попробуй решить сам

Касание окружностей | Задачи 11-15 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Касание окружностей | Задачи 11-15 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)
Поделиться или сохранить к себе: