Задачи с четырехугольником и окружностью

Точка С — середина дуги АВ окружности меньшей полуокружности. Через точку С проведены хорды CD и CF, которые пересекают хорду АВ в точках К и Т соответственно. Докажите, что около четырехугольника DKTF можно описать окружность (рис. 114, а, б).

Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD, пересекающиеся в точке О, разделяют его на треугольники, площади которых Докажите, что верно равенство (рис. 115, a).

Решение:

1) Пусть

2) Треугольники АО В и ВОС имеют общую высоту ВК, следовательно,

3) Треугольники COD и AOD имеют общую высоту DF,

значит,

4) Из равенств (1) и (2) следует, что или

Что и требовалось доказать.

Длины оснований AD и ВС трапеции ABCD равны соответственно а и b. Через точку F, принадлежащую стороне АВ и делящую ее в отношении т ‘■ п, считая от точки А, проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая сторону CD в точке Т. Докажите, что

Решение:

1) Проведем отрезок СЕ, параллельный стороне АB

2) Так как Из условия СЕ || АВ следует, что ОТ = FT — b.

3) Треугольник СТО подобен треугольнику CDE, следовательно, Отсюда получим, что Что и требовалось доказать.

• Параллелограмм, его свойства и признаки
• Площадь параллелограмма
• Прямоугольник и его свойства
• Ромб и его свойства, определение и примеры
• Внешний угол треугольника
• Свойство точек биссектрисы угла
• Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
• Четырехугольник и его элементы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Решение вписанные и описанные четырехугольники для ОГЭ и ЕГЭ
методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему

Предложены решения задач из баннка данных для ОГЭ и ЕГЭ. Удобно использовать для коррекции знаний или для учащихся, пропустивших занятия по подготовке к итоговой атттестации

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Окружность, вписанная в многоугольни к http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/

Задача 1 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение: Радиус вписанной окружности в квадрат – есть половина стороны квадрата. Поэтому r = 8

Задача 2 . Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Решение: Пусть точки касания окружности противоположных сторон ромба – E и T. Тогда ET– диаметр окружности (точка пересечения диагоналей О – центр симметрии параллелограмма, значит и ромба).

ET – есть расстояние между противоположными сторонами ромба так же, как и высота ромба (DH).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. Так как угол А равен 30°по условию, то катет HD, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы AD. То есть HD=ET=29. Значит, радиус вписанной окружности есть ET: 2, то есть 14,5. Ответ: 14,5.

Задача 3 . Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение: Высота трапеции – есть диаметр вписанной окружности в трапецию.

h=2r=2·14, h = 28. Ответ:28

Задача 4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD, что хорошо видно на картинке (равные отрезки помечены согласно свойству отрезков касательных).Итак, BC+AD=32, средняя линия l – есть полусумма оснований, то l =16.

Задача 5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности

Решение: в трапецию вписана окружность, значит BC+AD=AB+CD и P ABCD =80, то AB+CD= P:2 = 40. CD=30 по условию, то AB=10.

Далее, AB=NQ=2r. r =5. Ответ:5

Задача 6. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.

Решение: Раз в выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, то AB+CD=BC+AD. P ABCD =2(AB+CD)=2(52+53)=210

Задача 7 . Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Решение: В выпуклый четырехугольник ABCD вписана окружность, значит AB+CD=BC+AD. По условию три стороны четырехугольника относятся как 1:17:23, пусть тогда AD=x;AB=17x; BC=23x. Итого, 24x=17x+CD; 7x=CD;

Наконец, так как по условию периметр четырехугольника равен 84, то 24x=42;

x= 7/4.Очевидно, большая сторона – это BC=23x. BC=23·(7/4) = 40,25.

Задача 8 . Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение: Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна . Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть . Ответ: 6.

Задача 9 . Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен

Решение: Шестиугольник составлен из 6 правильных треугольников. Рассмотрим правильный треугольник AOF: В нем OH = r – медиана и высота, , , тогда , АО=66 Ответ: 66.

Окружность, описанная около многоугольни к http://egemaximum.ru/zadachi-7-mnogougolnik-i-okruzhnost/

Задача 1 . Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: Вписанный в окружность угол A опирается на дугу BCD, значит дуга BCD=52° по свойству вписанного угла. Дуга BAD, дополняющая дугу BCD до окружности, равна 360°-52°=308°. Тогда угол Cравен 308°: 2 = 154°. Ответ: 154.

Задача 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: Вписанный угол C опирается на дугу BAD, равную 78˚+136˚=214˚.

Значит сам угол равен 214 : 2 = 107˚. Ответ: 107.

Задача 3 . Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение: Дуги AB,BC,CD,AD в сумме составляют 360˚. Так как градусные меры дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 1:2:7:26, то пусть AB=x, BC=2x, CD=7x,AD=26x градусов. Имеем, x+2x+7x+26x=360;36x=360;x=10. Угол A опирается на дугу BD=9x градусов, значит угол A равен 90˚: 2 = 45˚. Ответ: 45 .

Задача 4 . Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение : ABC=38˚, значит дуга ADC равна 76˚. CAD=33°, значит дуга DC равна 66°. Тогда дуга AD равна 10°. Стало быть, ABD=5°. Ответ: 5 .

Задача 5 . Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и .

Решение : Радиус R описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали. По т. Пифагора: AC= ; тогда R=9. Ответ: 9.

Задача 6 . Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса

Решение : Диагональ BD квадрата – диаметр окружности. Обозначим сторону квадрата за x. Из треугольника ABD по т. Пифагора x 2 +x 2 =( ) 2 ; 2x 2 =90 2 ·2;

x 2 =90 2 ; x=90; Ответ: 90.

Задача 7 . Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение : Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.

Треугольник ABO – равносторонний, так как O=60°, AO=BO=R. Значит, R=16. Ответ: 16.

Задача 8 . Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение : Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная (AB=CD).

Средняя линия трапеции l есть полусумма оснований (BC+AD)/ 2, при этом l =25. P=2AB+(BC+AD); 60=2AB+50; AB=5; Ответ: 5.

Задача 9 . Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение : 1) Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.

HQ=BC=AB=CD, AH=QD (где H,D – основания высот, опущенных к большему основанию).Из прямоугольного треугольника ABH с углом B в 30˚ AH=0,5AB по свойству катета

против угла в 30˚. Значит, AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB; 2AB=82; AB=41.

2) Окружность описана и вокруг треугольника ABC.Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚. Значит, BAC= BCA=30°. Применяем теорему синусов: AB/sin30° =2R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC (и около трапеции ABCD). 41/=2R; R=41; Ответ: 41.

Задача 10 . Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение : Длина высоты трапеции HQ есть сумма длин высот OQ,OH треугольников OBC и OAD.

OQ= =4 (по т. Пифагора из треугольника OQC);

OH= = 3 (по т. Пифагора из треугольника OHD);

Задача 11 . Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 56˚ и 99˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение : Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть 180˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).Если A=99°, то C=180°-99°=81°. Если B=56°, то D=180°-56°=124°. Угол D и есть наибольший. Ответ: 124.

Задача 12 .Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника. R = BD: 2=2,5. Ответ: 2,5.

Задача 13 . Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение: AB=BC=. =EF= P: 6 = 108 : 6 =18. Рассмотрим треугольник AOF. Он равносторонний, т.к. AO=OF=R и AOF=60°. Значит, диаметр окружности D есть 2 ·18=36. Ответ: 36.

Задача 14. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 72˚. Найдите n.

Решение: Рассмотрим треугольник AОB. Он равнобедренный, так как AO=BO=R.

Значит, A= B и AOB=180°-2 · 72°=36°.Таких равных равнобедренных треугольников у нас n штук, в сумме углы при вершине O этих треугольников дают 360˚.Тогда n=360°/=10. Ответ: 10.

Задача 15 . Около окружности, радиус которой равен ,описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение: Треугольники AOB,BOC и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.

Из прямоугольного треугольника AOP, (где OP=R, R – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник): sinA=OP/AO; , АО=3 Ответ: 3

Видео:ОГЭ 10 минут на подготовку. Задание 16. Четырехугольники и окружность.Скачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанные и описанные окружности» 9 класс

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 классов

Древние греки считали окружность совершеннейшейи «самой круглой» фигурой, И в наше время в некоторыхситуациях, когда хотят дать особую оценку, используют слово «кругл.

Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.

Решение задач на вписанные и описанные многогранники

Решение задач на вписанные и описанные многогранники.

Презентация «Вписанные и описанные конусы». Решение задач

презентация по теме: «Решение задач на вписанные и описанные многогранники (пирамида)

Данная презентация позволяет организавать устную работу на уроке в 11 классе по готовым чертежам.

Презентация «Вписанная и описанная окружности четырехугольника» Геометрия 8 класс Мерзляк

Презентация «Решение задач на тему «Вписанная и описанная окружности четырехугольника» Геометрия 8 класс Мерзляк.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Дидактический материал по теме «Вписанные в окружность четырехугольники. Описанные около окружности четырехугольники.»

Дидактический материал по теме «Вписанные в окружность четырехугольники. Описанные около окружности четырехугольники.» Данные задачи можно использовать как на закрепление, так и на проверку знаний по теме.

Просмотр содержимого документа
«Дидактический материал по теме «Вписанные в окружность четырехугольники. Описанные около окружности четырехугольники.»»

Дидактический материал по теме «Вписанные в окружность четырехугольники. Описанные около окружности четырехугольники.»

Задача 1. Найдите все углы вписанного в окружность четырехугольника АВСD, если ∠ А=40º, а ∠D =90º

Задача 2. Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника?

Задача 3. Сумма сторон AB+CD=18 м. Найти периметр четырехугольника.

Задача 4. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Задача 5. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Задача 6. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции (1)

Задача 7. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (2)

1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

Ответ: ___________

2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 84° и 57°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________

3. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника.

Ответ: ___________

4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Ответ: ___________

1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 9 и CD = 14. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

Ответ: ___________

2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________

3. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AD = 15, BC = 11. Найдите периметр четырехугольника.

Ответ: ___________

4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________

5. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: ___________

📹 Видео

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

вписанный и описанный четырехугольникСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯСкачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать