Задачи по биссектрисе треугольника (3 видео)

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Содержание

Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Пример задачи
Проверочная работа «Свойство биссектрисы треугольника»
Элементы треугольника. Биссектриса
Свойства биссектрисы
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
🔥 Видео

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Видео:Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольникеСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Проверочная работа «Свойство биссектрисы треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 1

1.Биссектрса ВД делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АД = 7 см и СД = 10,5 см, АВ = 9 см. Чему равен периметр треугольника АВС ?

2.Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки 15см и 24см.

3.Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24см и 32см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

4.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 30см и 25см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 2

1.Биссектрса ВД делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АД = 6 см и СД = 9 см, АВ = 8 см. Чему равен периметр треугольника АВС?

2. Найдите две стороны треугольника, если их разность равна 28 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки 43 см и 29 см.

3.Периметр треугольника равен 40 см, две его стороны равны 15см и 9см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

4.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 20см и 25см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 1

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 2

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 1

Свойство биссектрисы угла треугольника. Вариант № 2

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1