Задачи наподобие треугольников повышенной сложности (8 видео)

Решение задач по теме «Подобие треугольников»

Представлены задачи по теме Подобие треугольников:

1) для самостоятельного решения; 2) с решениями; 3) из сборника ОГЭ; 4) тест.

Содержание

Просмотр содержимого документа «Решение задач по теме «Подобие треугольников»»
Задачи с практическим содержанием по теме «Подобие треугольников»
Задачи наподобие треугольников повышенной сложности
Урок 36. Решение задач на применение признаков подобия треугольников
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний учащихся
III. Самостоятельная работа
I уровень сложности
II уровень сложности
III уровень сложности
IV. Рефлексия учебной деятельности
🌟 Видео

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Подобие треугольников»»

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4, АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

Задачи для изучения (с решением):

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить третий признак подобия треугольников:

Т.к. все отношения равны 3, то треугольники подобны

Третий признак подобия треугольников

Пример №2: Докажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Первый признак подобия

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Первый признак подобия

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:

x = AC — DC = 23,57 — 15 = 8,57

ТЕСТ

Видео:Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Задачи с практическим содержанием по теме «Подобие треугольников»

Задачи с практическим содержанием по теме «Подобие треугольников»

Задача №1. Неприятельская вышка

Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

AMN, АВ = 50м,
MN = 22м,
BN = 500м

АКВ

АМN (по 2-м углам: А – общий, АВК и AMN – прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть, , а . Следовательно, м.

. Земля как на ладони, когда ты в небе на воздушном шаре

Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту 4 км над Землей (радиус Земли примерно равен 6370 км)?

1. По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть OTM = 90о.
2. MO = 6370 + 4 = 6374 км,
3. тогда по теореме Пифагора:

MT 2 + OT 2 = MO 2
MT 2 = MO 2 – OT 2

MT = 112,9 км

На улице Притомская-Набережная стоит 17-тиэтажное здание, высота которого 500 м. Какой высоты следует вырастить дерево КВ, если человек стоит на 2 м. от него, чтобы закрыть дорогу и это здание от наблюдателя? (Расстояние между деревом и зданием 22 м ).

AMN, АВ = 2м,
MN = 500м,
BN = 22м .Найти: КВ.

А – общий, АВК и AMN – прямые

АКВ

АМN (по 2-м углам) ,

То есть, , а , м.

Что увидит человек, стоящий на крыше гостиницы Кристалл, если другой человек, рост которого 1,8 м, стоит на расстоянии 1,83 м от другого здания. Если можете, назовите это здание. (Здание гостиницы Кристалл 500 м.)

МКС (по 2-м углам)

Ответ: искомое здание ТРК «Лапландия».

Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5600м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

М – наблюдательный пункт высотой h метров над Землей; радиус Земли R, MT = d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что .

Вершина горы видна из точки А под углом 38 42’, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найти высоту горы.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого.

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Измерение высоты дерева.

Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ1C1 с углом А = 45о и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние
АС = 5,6м, а высота человека 1,7м?

АВ1С1,
С = 90о,
А = 45о.
АС = 5,6м
h человека = 1,7м.

1) Так как А общий для обоих треугольников, а АС1В1 и АСВ (по условию) прямые (то есть равны по 90о), то АС1В1 и АСВ – подобные (по признаку подобия о 2-х углах).
2) Тогда АВ1C1 = АВС = 45о, => ВС = АС = 5,6м, но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева DB = 7,3м.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Задачи наподобие треугольников повышенной сложности

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 36. Решение задач на применение признаков подобия треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Урок 36. Решение задач на применение
признаков подобия треугольников

Основные дидактические цели урока: сформировать у учащихся навыки применения признаков подобия треугольников при решении задач; совершенствовать навыки доказательств теорем.

Ход урока

I. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности. (Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

Проверка домашнего задания. (Учитель проверяет решение задач № 559, 560 (б). Два ученика заранее готовят решение на доске.)

Теоретический опрос. (Два ученика готовят доказательства теорем у доски.)

Сформулируйте признаки подобия треугольников.
Докажите теоремы, выражающие второй и третий признаки подобия треугольников.

Работа по индивидуальным карточкам. (3—6 учеников работают по карточкам во время теоретического опроса.)

I уровень сложности

Подобны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁, если известно, что:

II уровень сложности

Прямая, параллельная стороне MN треугольника MNK, пересекает стороны КМ и KN в точках Е и F соответственно, КЕ = 6 см, KN = 10 см, KF = 9 см, KN = 15 см. Найдите отношения. a) EF: MN, б) P_KMN : Р_КЕF, в) S_KEF : S_KMN.
Точка Е — середина стороны AD параллелограмма ABCD. В каком отношении прямая BE делит диагональ АС параллелограмма? Найдите отношение площади треугольника АВЕ и четырехугольника BCDE.

III уровень сложности

Основания трапеции равны 9 и 6 см, а высота равна 10 см. Найдите разность расстояний от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.
Докажите признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Решение задач по готовым чертежам.

1) Рис. 7.32. Найти: ∠C₁, В₁С₁.
2) Рис. 7.33. Найти: ∠C, ∠C₁
3) Рис. 7.34. Найти: ВМ.
4) Рис. 7.35. Найти: ВС.
5) Рис. 7.36. Найти: ∠DCA.
6) Рис. 7.37. Найти АВ, NC.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

1) ∠C₁ = 71°, В₁С₁ = 15 см.
2) ∠C = ∠C₁ = 60°.
3) ВМ = 6 см.
4) BC = 20/3.
5)Обратите внимание! Ответ автора задания ∠DCA = 90°. Однако, этот ответ нельзя признать правильным в виду каких-то опечаток в рис.7.36. Единственный вывод из рисунка: треугольники ABC и АCD подобны (по трем сторонам), но в таком случае ответ должен быть 80°, а не 90°. Но самый противоречивый момент связан с тем, что треугольники с заявленными сторонами и углами не существуют. Если считать, что стороны на рисунке указаны правильно, то вместо 80° должно быть указано 92,73°, а вместо 55° должно быть 45,52°. Тогда правильный ответ будет ∠DCA = 92,73°.
6) АВ = 8, NC= 8.

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

оценка «5» — правильно решены пять-шесть задачи;
оценка «4» — правильно решены четыре задачи;
оценка «3» — правильно решены две-три задачи;
оценка «2» — не ставится.

(Учащиеся, справившиеся со всеми задачами, решают дополнительные задачи.)

Дополнительные задачи

Диагональ АС трапеции ABCD (АВ||CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.

Ответ : S_ABCD = 204 см 2 .

Угол В треугольника AВС в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части AD = 6 см и CD = 3 см. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ : АС = 9 см, АВ = 6√3 см, ВС = 3√3 см.

III. Самостоятельная работа

I уровень сложности

Вариант 1

ΔА₁В₁С₁

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и AOD, AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см.

Вариант 2

ΔА₁B₁С₁.

АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол САО, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников АОС и BOD.

II уровень сложности

Вариант 1.

ΔА₁В₁С₁

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМН, если МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.

Вариант 2

ΔСВA.

В треугольнике АВС АВ = 15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 м, а на стороне АС — отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE.

III уровень сложности

Вариант 1

Дано: ∠1 = ∠2, AD = 4, АС = 9 (рис. 7.42). Найти: АВ, S_ABD : S_ABC.
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, АО • ВО = СО • DO. Докажите, что площади треугольников ACD и ABD равны.

Вариант 2

Дано: ВС ⊥ АС, МН ⊥ ВС, 2МС = ВС, МН = 0,5АС (рис. 7.43). Доказать: АВ||СН. Найти. S_АВС : S_MCH.
В трапеции ABCD AD и ВС — основания, О — точка пересечения диагоналей, АО : ОС = 3 : 2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ACD.

( Ответы на самостоятельную работу смотрите в уроке 37)

IV. Рефлексия учебной деятельности

Сформулируйте признаки подобия треугольников.
В каком случае подобны равносторонние, равнобедренные, прямоугольные треугольники?

Домашнее задание. Решить задачи № 562, 563, 604, 605.

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 36. Решение задач на применение признаков подобия треугольников.