- Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
- Определение биссектрисы угла треугольника
- Свойства биссектрисы треугольника
- Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Пример задачи
- Элементы треугольника. Биссектриса
- Свойства биссектрисы
- Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
- 💥 Видео
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы вспомним понятие биссектрисы угла, сформулируем и докажем прямую и обратную теоремы о свойствах биссектрисы, обобщим их. Решим задачу, в которой, кроме фактов о биссектрисе, применим другие геометрические факты.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
- CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
- CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
Видео:Построение биссектрисы углаСкачать
Элементы треугольника. Биссектриса
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
💥 Видео
Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольникеСкачать
Построение биссектрисы углаСкачать
Найдите биссектрису треугольникаСкачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
Найдите угол: задача по геометрииСкачать
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
Задача, которую боятсяСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать