Задачи на треугольник и биссектрису

Свойства биссектрисы угла. Задачи
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Задачи на треугольник и биссектрису

На данном уроке мы вспомним понятие биссектрисы угла, сформулируем и докажем прямую и обратную теоремы о свойствах биссектрисы, обобщим их. Решим задачу, в которой, кроме фактов о биссектрисе, применим другие геометрические факты.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Задачи на треугольник и биссектрису

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Задачи на треугольник и биссектрису

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Задачи на треугольник и биссектрису

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Задачи на треугольник и биссектрису

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Задачи на треугольник и биссектрису

Задачи на треугольник и биссектрису

Задачи на треугольник и биссектрису

Задачи на треугольник и биссектрису

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Задачи на треугольник и биссектрису

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Задачи на треугольник и биссектрису

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Задачи на треугольник и биссектрису

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Задачи на треугольник и биссектрису

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Задачи на треугольник и биссектрису

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (Задачи на треугольник и биссектрису)

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

Задачи на треугольник и биссектрису(доказательство формулы – здесь)
Задачи на треугольник и биссектрису, где
Задачи на треугольник и биссектрису— длина биссектрисы, проведённой к стороне Задачи на треугольник и биссектрису,
Задачи на треугольник и биссектрису— стороны треугольника против вершин Задачи на треугольник и биссектрисусоответственно,
Задачи на треугольник и биссектрису— длины отрезков, на которые биссектриса Задачи на треугольник и биссектрисуделит сторону Задачи на треугольник и биссектрису,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Задачи на треугольник и биссектрису

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

💥 Видео

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольникеСкачать

Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольнике

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: