Задачи на сферические треугольники

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

• тремя сторонами,
• тремя углами,
• двумя сторонами и заключенным между ними углом,
• стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение задач сферической тригонометрии Вариант 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра геоинформатики и геодезии

по лабораторной работе №2:

Тема: «Решение задач сферической тригонометрии»

Решение задач сферической тригонометрии

В практике применяется три общих случая решения сферических треугольников:

— по трем сторонам – а, b, c;

— двум сторонам и углу между ними, например, а, b и ;

— по углам и стороне и между ними, например, А, В и С.

Прежде чем приступить к решению сферического треугольника, нужно проверить, соответствуют ли заданные элементы условиям существования такого треугольника, учитывая свойства его углов и сторон. При получении решения, необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные величины условиям существования треугольника; если не удовлетворяют, то такие результаты должны быть отброшены. Это важно тогда, когда по значению функции может быть найдено два угла.

Решение сферических треугольников включает следующие операции:

— оценка исходных данных;

— составление схемы и вычисления;

— анализ полученных результатов;

Основные формулы сферической тригонометрии:

Для других сторон и углов сферического треугольника аналогичные формулы могут быть получены соответствующей перестановкой элементов треугольника.

Кроме них применяют формулы полупериметра:

1. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

гипотенуза ;

катет .

2. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

катет ;

прилежащи й угол .

3. В сферическом треугольнике даны стороны:

1. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

гипотенуза ;

катет .

Найти: углы В, и катет с.

Рис. 1.2. Расположение элементов треугольника

Косинус каждого из элементов сферического треугольника равняется произведению или котангенсов соседних с ним элементов или синусов несмежных.

По правилу Непера для угла :

Для катета запишем:

Аналогично для катета с получим:

Контрольная формула получается, если соединить искомые величины В, и с по правилу Непера:

Решение треугольника приведено в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Решение прямоугольного сферического треугольника.