Задачи на отрезки связанные с окружностью

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Задачи на отрезки связанные с окружностьюОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Задачи на отрезки связанные с окружностьюСвойства хорд и дуг окружности
Задачи на отрезки связанные с окружностьюТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Задачи на отрезки связанные с окружностьюДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Задачи на отрезки связанные с окружностьюТеорема о бабочке

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Практикум по геометрии на тему «Решение задач на отрезки в окружности». 8 класс
  7. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  8. Краткое описание документа:
  9. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  10. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  11. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  12. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  13. Материал подходит для УМК
  14. Дистанционные курсы для педагогов
  15. Другие материалы
  16. Вам будут интересны эти курсы:
  17. Оставьте свой комментарий
  18. Автор материала
  19. Дистанционные курсы для педагогов
  20. Подарочные сертификаты
  21. Углы и отрезки, связанные с окружностью
  22. Просмотр содержимого документа «Углы и отрезки, связанные с окружностью»
  23. 🎥 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЗадачи на отрезки связанные с окружностью
КругЗадачи на отрезки связанные с окружностью
РадиусЗадачи на отрезки связанные с окружностью
ХордаЗадачи на отрезки связанные с окружностью
ДиаметрЗадачи на отрезки связанные с окружностью
КасательнаяЗадачи на отрезки связанные с окружностью
СекущаяЗадачи на отрезки связанные с окружностью
Окружность
Задачи на отрезки связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЗадачи на отрезки связанные с окружностьюДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностьюЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЗадачи на отрезки связанные с окружностьюБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЗадачи на отрезки связанные с окружностьюУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностьюДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Задачи на отрезки связанные с окружностью

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЗадачи на отрезки связанные с окружностью

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать

Геометрия. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЗадачи на отрезки связанные с окружностью
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЗадачи на отрезки связанные с окружностью
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЗадачи на отрезки связанные с окружностью
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЗадачи на отрезки связанные с окружностью

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Пересекающиеся хорды
Задачи на отрезки связанные с окружностью
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Задачи на отрезки связанные с окружностью
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Задачи на отрезки связанные с окружностью
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Задачи на отрезки связанные с окружностью
Пересекающиеся хорды
Задачи на отрезки связанные с окружностью

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Видео:Урок1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать

Урок1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Тогда справедливо равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Задачи на отрезки связанные с окружностью

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Задачи на отрезки связанные с окружностью

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Смирнов В.А. Углы и отрезки, связанные с окружностьюСкачать

Смирнов В.А. Углы и отрезки, связанные с окружностью

Практикум по геометрии на тему «Решение задач на отрезки в окружности». 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Геометрия 8 класс. Практикум «Решение задач на отрезки в окружности»

Учитель: Коряковцева Нина Владимировна

Целью проведения практикума является отработка навыков использования пропорциональных отрезков при вычислении длин хорд и касательных окружностей.

Практикум предполагает самостоятельную деятельность учащихся. Листы для практикума содержат основные соотношения и 6 задач для решения: задачи 1-5 базового уровня сложности, №5 – повышенного уровня.

Для оценки можно использовать следующие критерии: при решении 1-5 задач оценка «5», 1-4 – «4», 1-3 – «3». За решение задачи №6 можно поставить дополнительную оценку.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Краткое описание документа:

Целью проведения практикума является отработка навыков использования пропорциональных отрезков в окружности при вычислении длин хорд и касательных к окружности. Практикум предполагает самостоятельную деятельность учащихся. Листы практикума содержат основные соотношения (памятка) и 6 задач для решения.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 934 человека из 79 регионов

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 312 человек из 67 регионов

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 688 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 490 261 материал в базе

Материал подходит для УМК

Задачи на отрезки связанные с окружностью

«Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.

Глава 4. Окружность

Видео:Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 514

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 892

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 423

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 403

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 1465

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 339

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 01.04.2020
  • 422

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • 31.03.2020
  • 809

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 01.04.2020 430 —> —> —> —>
  • DOCX 237.7 кбайт —> —>
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коряковцева Нина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Задачи на отрезки связанные с окружностью

  • На сайте: 4 года
  • Подписчики: 78
  • Всего просмотров: 891606
  • Всего материалов: 519

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Урок 2. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать

Урок 2. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Задачи на отрезки связанные с окружностью

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Число иностранных студентов в РФ увеличилось за три года

Время чтения: 1 минута

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Более 800 вузов проведут прием через суперсервис

Время чтения: 1 минута

Задачи на отрезки связанные с окружностью

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Задачи на отрезки связанные с окружностью

УрФУ возглавил рейтинг медиаактивности вузов

Время чтения: 1 минута

Задачи на отрезки связанные с окружностью

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Углы и отрезки, связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Просмотр содержимого документа
«Углы и отрезки, связанные с окружностью»

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Углы и отрезки, связанные с окружностью

Задачи на отрезки связанные с окружностью

ВС ┴ ОА , ВЕ – касательная.

2. Так как ВО =ОС – радиусы, то ∆ВОС – равнобедренный,

значит OD – биссектриса ∆ВОС, поэтому ے АОВ= ے АОС.

5. Следовательно, луч ВА является биссектрисой ے СВЕ.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

М – точка касания окружностей,

АВ, А₁В₁ — секущие, АВ∩А₁В₁=М

Доказать, что АА₁ II ВВ₁.

1. Проведём прямую МК общую касательную к окружностям.

3. Но ے КМВ₁ = ے А₁МК₁ как вертикальные углы, то ے А₁АМ = ے МВВ₁.

4. Следовательно АА₁ II ВВ₁, так как ے А₁АМ и ے МВВ₁ накрест

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: АС – касательная к окр. (О₁; R₁), BD – касательная к окр. (О₂; R₂)

Доказать, что а) AD II BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.

б) 3) ∆ABD ̴ ∆ABC по I признаку подобия треугольников, то

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: ABCD – четырёхугольник, М ϵ (ABCD),

М – точка окружностей описанных около

∆ АВМ и ∆CDM, (ABM) ∩ (CDM) = M.

Доказать, что ے AMD = ے ABM + ے MCD.

1). Проведём через точку М касательную к окружности, описанной около ∆АВМ.

4). Следовательно КМ является касательной к окружности, описанной около ∆MCD.

5). Поэтому ے AMD = ے AMK + ے KMD = ے ABM + ے MCD.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

окр. ∩ BC = P, Q, BP = CQ,

АВ, АС – касательные.

Доказать, что ∆АВС равнобедренный.

1). По теореме о касательной и секущей имеем

ВМ² = ВР·BQ, CN² = CQ·CP.

2). Так как BP = CQ, то BM² = BP·BQ = BP·(BP + PQ) = CQ·(CQ + PQ) = CQ·CP = CN², значит ВМ = СN.

3). ∆АОМ = ∆АОN по общей гипотенузе АО и катетам

MO = NO – радиусы, MO ┴ AB, NO ┴ AC, значит AM = AN.

4). Поэтому AB = AM + BM = AN + CN = AC, т.е. АВ = АС.

5). Следовательно ∆АВС равнобедренный.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: окр. (О; R), AB ∩ CD = E,

Доказать, что EC = EB или EC = EA, ED = EB или ED = EA.

1). По теореме о пересечения хорд имеем AE · EB = CE · DE.

2). Так как хорды AB = CD, то выразим DE через AB,

DE = AE + EB – CE, AE · EB = CE · (AE + EB – CE),

AE·EB = CE·AE + CE·EB – CE²,

AE·EB – CE·AE – CE·EB + CE² = 0,

AE·(EB – CE) – CE·(EB – CE) = 0, (EB – CE)·(AE – CE) = 0.

3). Значит либо EB – CE = 0 или либо AE – CE = 0.

4). Следовательно EB = CE или AE = CE, тогда EB = ED или EA = ED.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: окр. (О; R), КА – хорда,

КВ – касательная, ОN ﬩ OA,

ON ∩ KA = M, OM ∩ KB = N.

Доказать, что NK = NM.

1). Так как ОК- радиус, КВ – касательная, то ОК ﬩ КВ и КА ∩ ON = M, значит ے NKM = 90 ° — ے AKO.

2). ∆АОМ – равнобедренный (ОА = ОК – радиусы), то ے ОКА = ے ОАК.

3). ∆АОМ, ے АОМ = 90 °, (ON ﬩ OA) , то ے АМО = 90 ° – ے МАО.

4). Значит ے NKM = ے AMO.

5). Но ے АМО = ے NMK как вертикальные углы, значит ے NKM = ے NMK.

6). Следовательно ∆KMN равнобедренный, а значит NK = NM.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: окр. (О; R), АВ, АС, В ₁ С ₁ — хорды, АВ ∩ В ₁ С ₁ = М,

АС ∩ В ₁ С ₁ = N, ᴗАВ ₁ = ᴗ В ₁ В, ᴗ АС ₁ = ᴗ С ₁ С.

Доказать, что AM =AN.

2). Но ᴗАВ ₁ = ᴗ В ₁ В и ᴗ АС ₁ = ᴗ С ₁ С, значит ے АМС ₁ = ے ANB ₁ .

3). Следовательно ∆AMN равнобедренный, поэтому AM =AN.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: окр. (О; R), А, В, С, D ϵ окр.,

ВМ – биссектриса ∆АВС, ВМ ϵ BD.

Доказать, что ے AMD = ے BAD.

1). Так как ВМ – биссектриса ∆АВС, то ے АВМ = ے МВС.

2). Так как вписанные углы ے DBC и ے DAC опираются на одну и ту же ᴗ СD, то ے DВC = ے DAС.

3). Следовательно ے АВМ = ے МВС = ے DAС.

4). Из теоремы о сумме углов ∆АMD и ∆ABD, имеем ے AMD = 180 ° — ے DAМ – ے МDA, ے BAD = 180 ° –

– ے ABD – ے BDA, т.е. ے BAD = 180 ° – ے DAM – ے MDA.

5). Следовательно ے AMD = ے BAD.

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: ∆АВС, АА ₁ , ВВ ₁ – высоты.

Доказать, что А, В, А ₁ , В ₁ ϵ окр. (О; R).

1). Возьмем точку К ϵ АВ, так что АК = КВ.

2). Так как ∆АВВ ₁ , ے В ₁ = 90 ° , то КВ ₁ = КА = КВ.

3). Так как у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке К, то точки А, В, В ₁ ϵ окр. (К; КВ ₁).

4). Так как ∆АВА₁, ے А ₁ = 90 ° , то КА ₁ = КА = КВ.

5). Значит точки А, В, А ₁ ϵ окр. (К; КА ₁).

6). Следовательно точки А, В, А ₁ , В ₁ ϵ окр. (К; КВ ).

Задачи на отрезки связанные с окружностью

Дано: АВСD – вписанный четырёхугольник, АС ﬩ ВD – диагонали.

Доказать, что AB² + CD² = BC² + AD² = d².

1). Обозначим ے CAD = φ, тогда ے ADB = 90° – φ.

3). Выразим и сложим АВ = 2Rcos φ , CD = 2Rsin φ, тогда AB² + CD² = 4R².

4). По теореме Пифагора из треугольников имеем AB² + CD² = (BK² + AK²) + (CK² + DK²) = (BK² + CK²) + (AK² + DK²) = BC² + AD² = 4R² = d².

🎥 Видео

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать

Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Урок 3. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать

Урок 3. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

2 круга 1 квадрат ➜ Задача от @AndyMath ➜ Найдите площадь квадрата на рисункеСкачать

2 круга 1 квадрат ➜ Задача от @AndyMath ➜ Найдите площадь квадрата на рисунке

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Углы и отрезки, связанные с окружностьюСкачать

Углы и отрезки, связанные с окружностью

Пропорциональные отрезки в окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки в окружности. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: