Задачи на определение углов при параллельных прямых

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельность прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:решение задач на параллельность прямыхСкачать

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:Решение задач на признаки параллельности прямыхСкачать

Параллельные прямые. Решение задач

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Московский институт открытого образования

Методическая лаборатория математики

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

» Параллельные прямые. Решение задач «

Учитель: Чернышева Татьяна Владимировна,

ГОУ СОШ № 743 Северного округа г. Москвы

Курсы «Современный урок математики»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Конспект урока-тренинга по геометрии в 7-м классе по теме:

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

» Параллельные прямые. Решение задач «

7 класс, учебник “Геометрия 7-9”. Автор Л.С.Атанасян

Образовательные задачи урока:

Проверить знания учащимися формулировок теорем, выражающих признаки параллельности прямых, свойств углов, образованных при пересечении секущей двух параллельных прямых;

Обеспечить в ходе урока повторение и закрепление основных понятий, признаков, свойств;

Проверить их умения объяснять по рисункам, какие углы являются накрест лежащими, соответственными, односторонними; распознавать их при решении задач, а также применять признаки параллельности прямых при решении задач.

Продолжить формирование общеучебных умений и навыков (например, навыки планирования ответа, работы с книгой, умения в необходимом темпе читать и писать);

Восполнить пробелы в знаниях, специальных и общеучебных умениях и навыках учащихся.

Воспитательные задачи урока:

Способствовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм;

Содействовать трудовому воспитанию;

Содействовать эстетическому воспитанию школьников. Обратить их внимание на красоту и четкость чертежей;

Содействовать физическому воспитанию школьников в ходе
урока, профилактика их утомляемости: смена деятельности, физкультминутка;

Обратить особое внимание на устранение следующих типичных
недостатков в воспитанности школьников класса: неумение выслушать другого, желание более легким путем (за счет более успешного одноклассника) получить положительную оценку;

Задачи развития интеллекта, познавательных интересов и способностей школьников:

Развивать у школьников умение выделять главное, существенное в
изучаемом материале, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать мысли;

Развивать самостоятельность школьников, умение преодолевать
трудности в учении, используя творческие задания,
самостоятельные упражнения, поощрение неоднократных усилий в выполнении затрудняющих заданий, оказание минимально необходимых доз помощи;

Развивать эмоции учащихся, создавая с этой целью в ходе урока
эмоциональные ситуации удивления, восторга, занимательности, воздействующие на чувства, на эмоциональную сферу личности;

При работе с учащимися, наиболее подготовленными по данному
предмету, обратить особое внимание на развитие сторон их интеллекта, воли, эмоций.

Ход урока

I. Организация класса.

II. Фронтальный опрос по теме.

1) Трое учащихся работают самостоятельно по карточкам у доски:

Карточка №1

Дано: а II в, с- секущая,

Карточка №2

Дано: а II в, с – секущая, (Рис.2)

Решить задачу:

Дано: прямые m, n, p, к – секущая (Рис.3)

Какие прямые параллельны?

2) В это время с остальными учащимися проводится блиц- опрос:

Вопросы для класса:

Сформулируйте определение параллельных прямых.

Сформулируйте признаки параллельности прямых.

Что такое аксиома.

Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Закончить предложение: “Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, …”

Закончить предложение: “Если две прямые перпендикулярны к третьей, …”

Сформулируйте свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Затем слушаем ответы учащихся у доски, дополняем, уточняем, учащиеся задают им вопросы. Ответы оцениваются.

III. Выполнение упражнений, решение задач.

1) Решение задач:

а) Чертеж заранее заготовлен на доске. По чертежу составить условие задачи, найти параллельные прямые и доказать их параллельность (решается устно).

Доказать, что AB II EF

б) Решить задачу №215 из учебника

Дано: прямые а и в,

По свойству смежных углов

2) Самостоятельная работа в тетради с печатной основой, с последующей взаимопроверкой после физкультминутки.

I вариант — №26, 31

II вариант — №29, 30

3) На столах у учащихся имеются листы с заданиями для теста, им предлагается выполнить тест, содержащий задания на истинность или ложность и с выбором ответа. После выполнения листы сдаются учителю (Тест прилагается).

Истинно или ложно высказывание:

а) Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна 180?, то прямые параллельны.
б) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
в) Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, перпендикулярны.
г) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Выберите верный ответ.

1)прямые AB и СD,

а) односторонние; б) накрестлежащие; в) не знаю

2)а II в, с – секущая

3)m II n, k – секущая

Истинно или ложно высказывание:

а) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
б) Две прямые, параллельные третьей прямой, не параллельны.
в) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то – она перпендикулярна и к другой прямой.
г) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма накрест лежащих углов равна 180є

Выберите верный ответ

1) прямые АВ и СD,

а) накрестлежащие; б) не знаю; в)односторонние.

2) m II n, k – секущая

3)а II в, с – секущая

Домашнее задание: п. 24-29, №209, №212, №216

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 958 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 337 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ решение задач 7 класс геометрия АтанасянСкачать

Конспект урока-тренинга по геометрии в 7-м классе по теме:

Видео:Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

» Параллельные прямые. Решение задач «

Образовательные задачи урока:

1. Проверить знания учащимися формулировок теорем, выражающих признаки параллельности прямых, свойств углов, образованных при пересечении секущей двух параллельных прямых;
2. Обеспечить в ходе урока повторение и закрепление основных понятий, признаков, свойств ;
3. Проверить их умения объяснять по рисункам, какие углы являются накрест лежащими, соответственными, односторонними; распознавать их при решении задач, а также применять признаки параллельности прямых при решении задач.
4. Продолжить формирование общеучебных умений и навыков (например, навыки планирования ответа, работы с книгой, умения в необходимом темпе читать и писать) ;
5. Восполнить пробелы в знаниях, специальных и общеучебных умениях и навыках учащихся.

• Чернышева Татьяна ВладимировнаНаписать 24105 18.11.2014

Номер материала: 127451

18.11.2014 9881

18.11.2014 1627

18.11.2014 710

18.11.2014 2364

18.11.2014 1095

18.11.2014 1893

18.11.2014 687

Не нашли то, что искали?

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📸 Видео

Задачи на признаки параллельности прямых. Часть 1. Как кратко и грамотно оформить завершение задачи.Скачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Пары углов в геометрииСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать

Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)Скачать

Углы при параллельных прямыхСкачать

Решение задач по теме "Параллельные прямые"Скачать

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать