Задачи на касательные к окружности с решениями

Задачи на касательные к окружности с решениями

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: Задачи на касательные к окружности с решениями. Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.

Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.

Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB — центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом, Задачи на касательные к окружности с решениями

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Задачи на касательные к окружности с решениями

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = Задачи на касательные к окружности с решениямиНайдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:

Задачи на касательные к окружности с решениями

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и HOB, они прямоугольные, OH — общая, AO и OB равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда Задачи на касательные к окружности с решениямиПо теореме Пифагора найдём радиус окружности:

Задачи на касательные к окружности с решениями

Диаметр равен двум радиусам, следовательно, Задачи на касательные к окружности с решениями

Содержание
  1. Касательная к окружности
  2. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  3. Свойства касательной к окружности
  4. Задача
  5. Задача 1
  6. Задача 2
  7. Задача 1
  8. Задача 2
  9. Задача 1
  10. Задача 2
  11. Геометрия 8 класс. Задачи по теме: Касательная к окружности
  12. Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
  13. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  14. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  15. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  16. Дистанционные курсы для педагогов
  17. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  18. Материал подходит для УМК
  19. Другие материалы
  20. Вам будут интересны эти курсы:
  21. Оставьте свой комментарий
  22. Автор материала
  23. Дистанционные курсы для педагогов
  24. Подарочные сертификаты
  25. 📺 Видео

Видео:Геометрия 8 класс: Решение задач на касательную к окружностиСкачать

Геометрия 8 класс: Решение задач на касательную к окружности

Касательная к окружности

Задачи на касательные к окружности с решениями

О чем эта статья:

Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 класс

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Задачи на касательные к окружности с решениями

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Задачи на касательные к окружности с решениями

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задачи на касательные к окружности с решениями

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Задачи на касательные к окружности с решениями

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задачи на касательные к окружности с решениями

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Касательные к окружности | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

Геометрия 8 класс. Задачи по теме: Касательная к окружности

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Решение задач Касательная к окружностиСкачать

Решение задач Касательная к окружности

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на касательные к окружности с решениями

Геометрии 8 класс. Задачи по теме: Касательная к окружности.

Длина хорды окружности равна 48, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 70. Найдите диаметр окружности.

Задачи на касательные к окружности с решениями

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=12см, AO=13см.

Задачи на касательные к окружности с решениями

На отрезке AB выбрана точка C так, что АС=14, ВС=36. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Отрезок АВ=48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Задачи на касательные к окружности с решениями

В угол C величиной 79° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

Длина хорды окружности равна 30, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 36. Найдите диаметр окружности.

Задачи на касательные к окружности с решениями

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если см, AB=40см, AO=85см.

Задачи на касательные к окружности с решениями

На отрезке AB выбрана точка C так, что АС=6, ВС=4. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 54°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Отрезок АВ=32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Задачи на касательные к окружности с решениями

В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 8.

Задачи на касательные к окружности с решениями

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 943 человека из 80 регионов

Задачи на касательные к окружности с решениями

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 679 человек из 75 регионов

Задачи на касательные к окружности с решениями

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 306 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 503 195 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Задачи на касательные к окружности с решениями

«Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.

§ 16. Касательная к окружности

Другие материалы

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 15.03.2020
  • 196
  • 0

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 15.03.2020
  • 232
  • 1

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 14.03.2020
  • 233
  • 4

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 13.03.2020
  • 172
  • 0

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 12.03.2020
  • 126
  • 0

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 12.03.2020
  • 1752
  • 99

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 11.03.2020
  • 227
  • 0

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • 10.03.2020
  • 471
  • 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 18.03.2020 5469
  • DOCX 130.1 кбайт
  • 322 скачивания
  • Рейтинг: 2 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Корякова Надежда Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Задачи на касательные к окружности с решениями

  • На сайте: 5 лет и 4 месяца
  • Подписчики: 2
  • Всего просмотров: 6736
  • Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Задачи на касательные к окружности с решениями

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Задачи на касательные к окружности с решениями

Новые курсы: педагогический дизайн, ФГОС третьего поколения, управление школой и другие направления подготовки

Время чтения: 14 минут

Задачи на касательные к окружности с решениями

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

Задачи на касательные к окружности с решениями

В школьном курсе мировой истории планируют уделить больше внимания Азии и Африке

Время чтения: 1 минута

Задачи на касательные к окружности с решениями

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Задачи на касательные к окружности с решениями

Большинство российских вузов используют смешанный формат обучения

Время чтения: 1 минута

Задачи на касательные к окружности с решениями

В Петербурге введут новые COVID-ограничения для несовершеннолетних

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📺 Видео

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 класс

Задачи с касательными к окружности. Пример 1. | Окружность | ГеометрияСкачать

Задачи с касательными к окружности. Пример 1. | Окружность |  Геометрия

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.Скачать

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.

Задачи с касательными к окружности. Пример 3. | Окружность | ГеометрияСкачать

Задачи с касательными к окружности. Пример 3.  | Окружность |  Геометрия

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Касательные к окружности | Задачи 31-34 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Касательные к окружности | Задачи 31-34 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

Задачи с касательными к окружности. Пример 2. | Окружность | ГеометрияСкачать

Задачи с касательными к окружности. Пример 2. | Окружность |  Геометрия

Касательная к окружности. ЗадачиСкачать

Касательная к окружности. Задачи

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Геометрия. 8 класс. Урок 9 "Касательные к окружности"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 9 "Касательные к окружности"
Поделиться или сохранить к себе: