Задача про египетский треугольник (3 видео)

Содержание

Египетский треугольник
Просмотр содержимого документа «Египетский треугольник»
Египетский треугольник
Задача на смекалку
1. Практическая работа
2. Устная работа
3. Практическая работа
Планиметрия. Страница 5
1.Теорема Пифагора
2.Египетский треугольник
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике
4.Основные тригонометрические тождества
Репетитор: Васильев Алексей Александрович
5.Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
🎬 Видео

Видео:Египетский треугольник. Пифагоровы тройки.Скачать

Египетский треугольник

Презентация подготовлена для внеклассного мероприятия «Математический бой» в 8 классе

Просмотр содержимого документа
«Египетский треугольник»

Сделал ученик 10 «А» класса

Учитель Сотникова М.И.

Немного о Пифагоре

Задачи

продолжение
продолжение

Задача №1 Задача №2 Задача №3
Задача №1
Задача №2
Задача №3

Египетский треугольник

Название Сведения
Название
Сведения

Немного о Пифагоре

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников ,

Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины. В VII — V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы

Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Сведения, которыми мы располагаем о древнем Египте, получены в весьма значительной степени из ознакомления с множеством рельефных изображений. Эти рельефы в изобилии покрывали стены и колонны древних гробниц и храмов. Они относятся ко всем периодам истории Египта: Древнему, Среднему и Новому Царствам, встречаются также и в позднее время. Они обладают качеством стойкой стилистической формы и в египетском искусстве занимают весьма важное место. Смысл множества рельефных изображений заключается, прежде всего, в их «информативности», или повествовательности, что играло большую роль, имея в виду особенности погребального и религиозного культа. Это было пиктографическое письмо очень высоких достоинств.

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120º.
Для начала проведем высоту этого треугольника к основанию. Видно, что треугольник разделился на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковой стороне равнобедренного. Т.к. угол против основания равен 120º, то углы при основании равны по 30º. Следовательно высота равна половине боковой стороны. Отметим высоту за x, а боковую сторону за 2x.

Т.к. высота равнобедренного треугольника, проведенная к основани. является также медианой и биссектрисой, то второй катет прямоугольного треугольника равен 9 см. Составим уравнение :

Значит, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6√3 см. Задача решена .

Одна из диагоналей параллелограмма является высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Для того, чтобы решить эту задачу, отметим меньшую сторону параллелограмма за a = x, а большую — за b = x + 1. Так как периметр равен сумме всех сторон, то получаем:

Значит, сторона a равна 13 см, а сторона b равна 12 см.Теперь, т.к. диагональ является также и высотой, рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Требуется найти катет по гипотенузе и другому катету:

x = 12, а x + 1 = 13.

В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а длина гипотенузы 13 см. Найти катеты a, b и площадь S треугольника .

Отметим один из катетов за x, а другой — за 17 — х. По теореме Пифагора получаем:

x2 + x2 — 34x + 289 = 169

2×2 — 34x + 120 = 0

Значит, один из катетов равен 12, а другой — 5. Площадь треугольника равна:

Видео:Решали пол-урока, а оказалось очень простоСкачать

Египетский треугольник

Разделы: Математика

Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на уроке, вызвал у них интерес.

Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор,
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
(А. фон Шамиссо, перевод Хованского)

Пифагор, VI в. до н. э. (580 – 500), древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемой теоремы Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.

Задача на смекалку

Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”. Сколько учеников было у Пифагора?

Пусть х – число учеников Пифагора.

По условию задачи составим уравнение:

ОТВЕТ: 28 учеников.

Начнем урок в школе Пифагора.

1. Практическая работа

(Несколько человек работают у доски, остальные в тетрадях).

Задание 1. Построить треугольник по трем сторонам, если стороны равны.

в) 5, 12, 13 (единицы измерения указывать не обязательно).

Задание 2. Измерить больший угол этих треугольников.

Ответы близки к 90 о .

Учитель предлагает внимательно посмотреть на построенные треугольники, найти отличия и определить, чем эти треугольники похожи друг на друга. Класс постепенно находит нужную формулировку: “Если треугольник имеет стороны a, b, c и a 2 +b 2 =c 2 , то угол, противолежащий стороне с, прямой”.

Доказательство этой теоремы – обратной к теореме Пифагора.

2. Устная работа

1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.

2) в прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.

3) определите вид треугольника, стороны которого равны 6, 8, 10.

3. Практическая работа

На тонкой веревке делают метрии, делящие ее на 12 равных частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым.

ВЫВОД: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный.

Учитель говорит учащимся, что этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы.

(Звучит музыка. Демонстрация слайдов с изображением античных дворцов, храмов, египетских пирамид).

Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора. Проверяют еще раз эту теорему на треугольнике со сторонами 3, 4, 5: 3 2 + 4 2 = 5 2 . Далее можно сказать, что в общем виде уравнение записывается следующим образом: а 2 + b 2 = с 2 . Необходимо проверить есть ли еще корни у этого уравнения.

Учащиеся проверяют этот факт. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами:

5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25.

Далее учитель сообщает, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Учитель предлагает тем учащимся, которых заинтересовала данная тема, дома доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами:

а = 2mn, b = m 2 — n 2 , c = m 2 + n 2 ,

где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n.

В финале урока уместно прочитать известные стихи, посвященные теореме Пифагора.

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
(И. Дырченко)

Видео:Египетский треугольник #огэ #математика #shortsСкачать

Планиметрия. Страница 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Видео:Пифагоровы тройки 1. Египетский треугольникСкачать

1.Теорема Пифагора

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

Рис.1 Теорема Пифагора.

Видео:Египетский треугольникСкачать

2.Египетский треугольник

Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а 2 + b 2 = с 2 . Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.

Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h.

Но по условию задачи а 2 + b 2 = с 2 . Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС — прямой.

В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.

Рис.2 Египетский треугольник.

Видео:90 задач по геометрии решается этим способом!Скачать

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.

Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α
AC = BC cos α
AB = AC tg α
AC = AB ctg α

Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

Видео:Пятая задача из контрольной для 8 классаСкачать

4.Основные тригонометрические тождества

Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)

Рис.4 Основные тригонометрические тождества.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

5.Пример 1

У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.

Пример 2

Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

Решение:

Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

По теореме Пифагора:

АВ 2 = AE 2 + BE 2

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.

Пример 3

Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

Доказательство:

Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

АС = АВ сos α + ВС cos β

Тогда отрезок DE будет равен:

DE = DB сos α + ВE cos β

Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.

Пример 4

Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.

Пример 5

Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ₁ и построить треугольник не получится.