Задача параллельный перенос треугольника

Параллельный перенос и поворот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.

Задача параллельный перенос треугольника

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Задача параллельный перенос треугольника

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.

Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).

Задача параллельный перенос треугольника

Рисунок 3. Поворот

Готовые работы на аналогичную тему

Введем следующую теорему.

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Задача параллельный перенос треугольника

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).

Задача параллельный перенос треугольника

Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:

[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]

Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).

Задача параллельный перенос треугольника

Решение закончено.

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).

Задача параллельный перенос треугольника

Решение закончено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021

Видео:Параллельный переносСкачать

Параллельный перенос

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 класс

Параллельный перенос

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаОпределение:

Параллельным переносом на вектор Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольниканазывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача 145.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникавектор Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

A → A1 : Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

B → B1 : Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Теорема:

При параллельном переносе на вектор Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникасохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

M Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаM1

N Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаN1

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаM1: Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаN1: Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача 146.

A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA1:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC1:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA1: Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC1:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAC

точка C лежит на AD: C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAD

BC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника: a || Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

2) Точка B переводится движением в точку B1

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

вектор Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

окр (O;R) Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаокр (O1;R1)

ΔABC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔA1B1C1

EFPQ Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAOA1 = 75°

2) B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаMON = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаα = 180°

1) A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAOA1 = 180°

2) B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBAB1 = 160°

2) C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаПостроить:

1) A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAOA1 = 120°

2) B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаПостроить:

1) проведем луч CO

2) C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC1;

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCOC1 = 60°

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаADB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBDC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCDA

A Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB

B Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC

C Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC : Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBCA : Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC > Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаab = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 90°

c = 4 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаab = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA = 90°

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаc = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 90°

соотношение острых углов

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC : Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCAB = 1 : 2

AC = 4 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCAB = 30°,

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= AB 2

AC 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB 2

AB 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 4 (ед)

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача 163.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 90°

tg Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

0,6 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника; AC = 3 • Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 5 (ед)

Задача 164.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA = 90°

Найти: Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC = ?

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаHAC = AHC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаHCA = 60°.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникакв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBAC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаSΔABC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника(кв.ед.)

SΔABH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABH = 30°, поэтому

AH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB

SΔABH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB • BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

AB • BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB 2 + BH 2

BH 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB 2

BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

AB 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

AB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Тогда AB • BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника• BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникарадиус описанной окружности

R = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAHO = 90°.

Т.к. Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаHAO = 30°, то OH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAO Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаOH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаR

OH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника+ AH 2 = ( Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника) 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника+ AH 2 =

= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

AH 2 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAH • OH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 2,25 (кв.ед.)

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника• 24 = 12

BO = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаоснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAD • BH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAH = ( Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника) 2 + 15 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаx 2 – 30x + 225 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Подобные треугольники

Задача 170.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникатреугольник Δ ABC, два угла

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA = 54°

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB = 18°

CH – биссектриса угла Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔ ABC

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 180° – ( Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA + Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB)

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC, то

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBCH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаHBC = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаB = 18°

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBCH = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаA = 54°

Тогда Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCHB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔ ABC.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= ?

Углы равны Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаCBO = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBCO = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔ AOD.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника. Тогда 4AO = 10BO Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBO = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаAO

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника(см)

Следовательно, BO = 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникасм.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= k = 0,4

Ответ: BO = 2 Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникасм, Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 0,4.

Задача 172.

ΔABC Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔA1B1C1 ,

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникапериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

B1C1 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 20 (дм)

Тогда Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

A1B1 = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= 15 (дм)

Задача 173.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаBAD = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаMCB = Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольникаΔ BMC.

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника= Задача параллельный перенос треугольника Задача параллельный перенос треугольника,

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещения

Урок по теме «Решение задач по теме «Движение»

Разделы: Математика

Образовательная: совершенствовать знания учащихся по теме “Движение”, Показать применение преобразования “Движения” при решении геометрических и практических задач.

Развивающая: развитие умения обобщать, развитие интереса к изучаемому предмету.

Воспитательная: выработать внимание, самостоятельность при работе на уроке.

I. Орг.момент

II. Проверка домашней работы

III. Устная работа

1) Вспомнить определение преобразования движения.

2) Виды движений. К доске вызываются 4 ученика, каждый из них формулирует определение конкретного вида преобразования Движения. На доске чертится следующий кластер:

3) Повторить свойства движений.

IV. Решение задач

Задача № 1. По одну сторону от отрезка АЕ построены равносторонние треугольники АВС и СДЕ; Р – середина ВЕ, М – середина АД. Докажите, что треугольник СМР – равносторонний.

Задача параллельный перенос треугольника

Выполним преобразование поворот вокруг точки С на угол 60 0 против часовой стрелки. Точка Е переходит в точку D, точка В – в точку А.Отрезок ВЕ переходит в отрезок DА. По свойству поворота середина ВЕ переходит в середину DА, т.е. точка Р переходит в точку М. Значит СР=СМ, и угол РСМ=60 0 . Следовательно, треугольник СМР равносторонний.

Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.

Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 0 точка С переходит в точку В, а прямая m3 в прямую m.

Задача параллельный перенос треугольника

Построение:

  1. На прямой m1 взять точку А.
  2. Повернуть прямую m3 вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 0 . Прямая m3 переходит в прямую m . Точка пересечения этих прямых есть точка В.
  3. Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 0 по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.
  4. Построить треугольник АВС.

Задача № 3 Два прямоугольных треугольника расположены так, что их медианы проведенные к гипотенузе параллельны и равны. Докажите, что угол между некоторыми катетами вдвое меньше угла между гипотенузами.

Задача параллельный перенос треугольника

Выполним параллельный перенос на вектор Задача параллельный перенос треугольника. При этом переносе точка С—> С1,точка М —> М1.

Задача параллельный перенос треугольника

Построим окружность с центром в точке М1 и радиуса М1А. М1 – середина гипотенузы прямоугольных треугольников® точки А, А1, С1, В1, В – лежат на этой окружности. Угол между гипотенузами АМ1А1 – центральный угол, опирающийся на дугу АА1, угол между катетами АС1А1 – также опирается на эту дугу и он вписанный. По теореме о вписанном угле 2? АС1А1=? АМ1А1

Задача параллельный перенос треугольника

Задача № 4 (Задача на применение движения (параллельного переноса, неравенство треугольника) В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь АМNВ из деревни А в деревню В был кратчайшим? (берега реки считаются параллельными прямыми, мост строиться перпендикулярно реке).

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе, переводящем точку М в точку N, точка А перейдет в некоторую точку А1. Тогда АМ+МN+NВ=АА11N+NBЗадача параллельный перенос треугольникаАА11В (неравенство треугольника), причем равенство достигается, когда точки А1, N, и В лежат на одной прямой.

Отсюда вытекает следующий способ построения . Выполним параллельный перенос точки А на вектор Задача параллельный перенос треугольника. Точка А переходит в точку А1. Соединив точку А1 с точкой В, получим точу Д, которая и будет точкой начала моста.

Задача параллельный перенос треугольника

V. Подведение итогов урока

1. Вопросы на стр. 281.

2. №1176, Дополнительная задача.

Дополнительная задача: На сторонах треугольника АВС построены из вне равносторонние треугольники АВС1, ВСА1, АСВ1. Докажите, что АА1, ВВ1, СС1 равны и угол между любыми двумя отрезками равен 60 0 .

Выполним преобразование поворот вокруг точки А по часовой стрелке на угол равный 60 0 . При этом АС АВ, а АС® АВ1. Следовательно СС В1В. Следовательно, отрезки СС1 и В1В равны и угол между ними 60 0 , т.к. поворот сохраняет равенство углов.

Задача параллельный перенос треугольника

Аналогично для сторон АА1 и СС1.

Литература

  1. Геометрия: Учеб для 7-9 кл. образовательных . учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, и др.
  2. Геометрия 7-9, Гордин Р.К. Сборник задач

🎬 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворотСкачать

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворот

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

#192 ПОВОРОТ И ПЕРЕНОС // ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

#192 ПОВОРОТ И ПЕРЕНОС // ТРЕУГОЛЬНИК

Перенос треугольника по векторуСкачать

Перенос треугольника по вектору

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

ЕГЭ: задача 14. Параллельный перенос.Скачать

ЕГЭ: задача 14. Параллельный перенос.

Нахождение истинной формы плоской фигуры методом плоско параллельного перемещенияСкачать

Нахождение истинной формы плоской фигуры методом плоско параллельного перемещения
Поделиться или сохранить к себе: