Квадрат – ромб, у которого все углы прямые.
Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.
Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.
Свойства квадрата
Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.
Признаки квадрата
Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:
1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.
Описанная окружность
Около квадрата можно описать окружность. Сторона 
и радиус 
окружности связаны соотношением: 
Вписанная окружность
В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности и сторона квадрата связаны соотношением: 
Площадь квадрата
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Решение №1988 Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Обозначим радиус окружности как R. Тогда сторона описанного квадрата равна 2R , найдём его площадь:
SABCD = (2R) 2 = 4R 2
Диагональ вписанного квадрата 2R , из прямоугольного ΔADC по теореме Пифагора найдём его площадь:
AD 2 + DC 2 = AC 2
a 2 + a 2 = (2R) 2
2a 2 = 4R 2
a 2 = 2R 2 = SA′B′C′D′
Найдём во сколько раз площадь описанного квадрата больше вписанного квадрата:
Квадрат — определение и свойства
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Перечислим свойства квадрата:
- Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
- Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.
Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.
1 . Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .
Мы знаем, что . Тогда .
2 . Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.
3 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .
Диаметр окружности равен стороне квадрата.
4 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .
Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.
5 . Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.
Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .