Задача архимеда про окружность

Лемма Архимеда

Пусть прямая пересекает данную окружность в точках K и M. Рассмотрим произвольную окружность, касающуюся данной в точке P, а прямой KM в точке L. Тогда прямая PL проходит через середину одной из двух дуг KM, на которые данная окружность разделена прямой KM.

Доказательство: Рассмотрим для определенности случай, изображенный на рисунке. Пусть О – центр данной окружности О1 – центр построенной окружности. Точки О, О1 и Р лежат на одной прямой. Пусть прямая РL пересекает данную окружность в точке Е. Треугольники РО1L и РОЕ равнобедренные. У них есть общий угол – угол при вершине Р.Значит, они подобны, и О1L параллельна ОЕ. Но O1L перпендикулярна КМ. Следовательно, ОЕ также перпендикулярна КМ. Значит, Е – середина дуги. Лемма доказана

Приведем еще одно доказательство леммы Архимеда. Рассмотрим прямую, касающуюся обеих окружностей в точке Р. Обозначим через Q точку её пересечения с прямой КМ; Е – точка пересечения PL с большей окружностью. Углы PLM и QPL равны, так как PQ = LQ как касательные. Но угол PLM измеряется полусуммой дуг КЕ и РМ, а угол QPL = углу QPE и измеряется половиной дуги РМЕ или полусуммой дуг РМ и МЕ. Значит, дуги КЕ и МЕ равны.

Решение Архимеда

Рассмотрим окружность, касающуюся BD то точке L, дуги AD – в точке Р и полуокружности AB — в точке F. Согласно лемме, прямая PL проходит через точку С, а прямая GL – через А. Проведем через L в посторонней окружности диаметр LN. Углы NPL и APC – прямые (как опирающиеся на диаметры в соответствующей окружности), поэтому точки P,N и A лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой лежат точки N,F и B. (Прямые являются углы NFL и AFB.)Обозначим теперь через G точку пересечения AL с большей полуокружностью. Рассмотрим треугольник ALC. Высотами в нем являются LB, AP и CG.

Продолжим их до пересечения в одной точке, которую обозначим через S. Из подобия треугольников SNL и SAB получаем. Но прямые NB и SC параллельны, так как они перпендикулярны AL. Cледует, что NL , при этом NL — диаметр одной из окружностей, вписанных в части арбелоса. Понятно, что находя диаметр второй окружности, мы придем к тому же равенству.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Арбелос Архимеда

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Задача

На отрезке AB взята точка C. На отрезках AC, BC и AB, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности s₁, s₂ и s соответственно. Из точки C восстановлен перпендикуляр к прямой AB, пересекающий окружность s в точке D. В два образовавшихся криволинейных треугольника вписаны окружности α и β: первая касается отрезка CD, полуокружности s₁ и дуги AD, вторая — отрезка CD, полуокружности s₂ и дуги BD. Докажите, что две эти вписанные окружности равны.

Видео:Задача АрхимедаСкачать

Подсказка 1 к решению 1

Пусть a и b — радиусы полуокружностей s₁ и s₂ соответственно, r — радиус окружности α. Выразите r через a и b.

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Подсказка 2 к решению 1

Пусть E, F и G — центры полуокружностей s₁, s₂ и s соответственно, а O — центр окружности α (рис. 2). Рассмотрим треугольник OEG; все его стороны выражаются через a, b и r.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Подсказка к решению 2

Рассмотрим конструкцию на рис. 3. Докажите, что она соответствует условиям задачи (для этого, в частности, необходимо доказать, что прямая MN проходит через точку B).

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Решение 1

Опустим перпендикуляр OH на прямую EG (рис. 4):

Разрешая полученное уравнение относительно r получаем:

(1)

Для нахождения радиуса окружности β с центром Q, надо рассмотреть треугольник QFG и провести для него вычисления, аналогичные проведенным выше, поменяв a и b местами, поскольку окружность β касается полуокружности s₂. Но так как r не меняется при замене в выражении (1) a на b, то и результат вычислений не изменится.

Есть и не вычислительные, но по-своему более изящные решения.

Видео:Задача на окружности из ОГЭ-2023!! Разбор за 30 секСкачать

Решение 2

Приведем решение самого Архимеда, которое может показаться более сложным, но и более интересным. Для этого понадобится следующая лемма:

Лемма. Даны две касающиеся окружности ω и ω₁ и прямая CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую (рис. 5). Пусть B — точка касания окружностей, A — точка касания прямой и окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD.

Доказательство. Пусть O и O₁ — центры окружностей ω и ω₁ соответственно; тогда треугольники OEB и O₁AB — равнобедренные и у них общий угол при основании O₁BA. Следовательно, OEB = O₁AB OE || O₁A. O₁ACD OECD E — середина дуги CD.

Заметим, что в случае внешнего касания окружностей лемма тоже верна, а доказательство аналогично.

Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K — точка касания α и s₁ (рис. 3). Применим лемму к нашей конструкции; тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK проходит через точку A.

Далее, P — вторая точка пересечения NK и s, R — точка пересечения CD и BP.

N — точка пересечения высот в треугольнике ARB, так как APB = RCB = 90°, следовательно прямая RA проходит через точку M.

Пусть L — вторая точка пересечения RA и α, тогда LKN = 90° (как угол, опирающийся на диаметр), но AKC = 90° точки L, K и C лежат на одной прямой.

LN — диаметр окружности α, следовательно LN || AB, следовательно

Заметим, что LC || RB, так как они перпендикулярны AP, следовательно

В обозначениях из первого решения полученное выражение принимает вид

и после сокращения общих множителей совпадает с выражением (1).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Решение 3

Еще одно красивое решение — это решение с использованием инверсии.

Инверсия с центром в точке O и радиусом R — это преобразование плоскости (исключая точку O), при котором каждой точке M ставится в соответствие такая точка M’ на луче OM, что OM·OM’ = R 2 .

Из определения сразу же следует, что если M’ есть образ M, то и M (при данном преобразовании) есть образ M’. Такие преобразования называют инволюционными или просто инволюциями (от латинского involutio — «свертывание»), потому что после второго применения инверсии все точки возвращаются на свои места.

Подробнее про инверсию можно почитать, например, в статье В. М. Уроева «Инверсия» («Квант» №5, 1984).

Нам же понадобятся ее следующие свойства:

• прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в саму себя;
• окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии;
• окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Сделаем инверсию с центром в точке B и радиусом BD (рис. 6).

Заметим, что BD 2 = BA·BC; так как DC — высота в прямоугольном треугольнике ABD, следовательно при этой инверсии точки A и C меняются местами. Очевидно, что точка D переходит в себя, поэтому образом окружности s (чтобы не рассматривать образы полуокружностей, будем теми же буквами обозначать соответствующие окружности) является прямая CD (обозначим ее s’), и наоборот, прямая CD переходит в окружность s. Образом окружности s₂ является прямая (обозначим ее l), проходящая через точку A перпендикулярно AB.

При этом окружность β должна переходить в окружность, касающуюся образов CD, s₂ и s, то есть в окружность, касающуюся красных вертикальных прямых и полуокружности s. Это окружность β’ с диаметром AC.

Далее, рассмотрим гомотетию с центром в точке B, при которой точка C переходит в точку A.

(Гомотетия (от греч. homos — равный, одинаковый, взаимный, общий и thetos — расположенный) — такое преобразование плоскости, при котором каждой точке М ставится в соответствие некоторая точка М‘, лежащая на ОМ, где О — фиксированная точка, причем отношение ОМ‘ : ОМ = k (коэффициент гомотетии) одинаково для всех точек М. При гомотетии каждая фигура переходит в подобную, а все расстояния между точками изменяются ровно в k раз.)

Тогда полуокружность s₂ перейдет в полуокружность s, прямая CD в прямую l. Следовательно окружность β перейдет в окружность, касающуюся полуокружности s и прямой l, центр которой лежит на луче BO — это окружность β’. В предыдущих обозначениях (AC = 2a, BC = 2b, r — радиус β) коэффициент гомотетии k равен

Но отношение радиусов окружностей β и β’ также равно коэффициенту гомотетии:

Следовательно, мы получаем уже знакомую формулу для радиуса окружности, вписанной в арбелос:

Видео:Площадь круга и АрхимедСкачать

Послесловие

Арбелос — так назвал Архимед криволинейный треугольник, ограниченный тремя полуокружностями, из-за его сходства с очертаниями сапожного ножа, использовавшегося для разделки кож (см. рис. 7). А мы называем его еще «арбелос Архимеда», поскольку в своих занятиях геометрией Архимед много времени уделил этой фигуре и в книге «Леммы» (см. также: Book of Lemmas), приписываемой Архимеду арабским ученым Сабитом ибн Куррой, арбелосу посвящены пять утверждений (с четвертого по восьмое).

Разобранная нами задача — это пятое утверждение, а второе решение задачи и есть решение из «Лемм».

Круги α и β еще называют кругами-близнецами Архимеда (Archimedes’ twin circles), а любой круг, каким-то образом вписанный в арбелос, равный кругам α и β, называют кругом Архимеда.

У арбелоса есть много интересных свойств, изученных еще Архимедом и другим древнегреческим ученым второй половины III века н. э. — Паппом Александрийским (см. также: Pappus of Alexandri).

Так, в четвертом утверждении «Лемм», в котором вводится понятие арбелоса, утверждается, что его площадь равна площади круга с диаметром CD (см. рис. 8). Это нетрудно доказать самому или прочитать, например, здесь.

В восьмом утверждении «Лемм» Архимед упоминает цепочку кругов, которые формально ввел Папп Александрийский. Он рассматривал цепочку кругов, вписанных в арбелос (см. рис. 9) и доказал, что расстояние от центра n-го круга до прямой AB равно произведению диаметра этого круга на n (O₂H = 2·d₂, где d₂ — диаметр круга с центром O₂).

Проще всего это можно доказать с помощью инверсии (см., например, книгу И. Д. Жижилкина «Инверсия», стр. 26). Надо отметить, что доказательство без привлечения инверсии очень сложно и не стоит недооценивать труд Паппа. Инверсию же стали применять примерно через полторы тысячи лет после того, как Папп нашел свое решение.

Интересно, что центры кругов Паппа лежат на эллипсе с фокусами в серединах отрезков AB и AC. А точки их касания лежат на одной окружности.

После Архимеда и Паппа геометры вновь заинтересовались кругами Архимеда только в XX веке. В основном это исследования, посвященные нахождению новых кругов Архимеда (кругов, равных двум исходным вписанным кругам из условия нашей задачи).

В 1978 году Томас Шох (Thomas Schoch) нашел 12 кругов Архимеда (см. Schoch circles). На рис. 10 показан один из них — ω. Красные дуги — это дуги окружностей с центрами в точках A и B и радиусами AC и BC соответственно.

Питер Ву (Peter Woo) в 1999 году обобщил конструкцию и построил бесконечную серию кругов Архимеда с центрами на прямой Шоха (оранжевая прямая Sch на рис. 10).

Построение серии кругов Ву: возьмем произвольное положительное число m и рассмотрим две окружности с радиусами ma и mb и центрами на прямой AB, касающиеся в точке C. На рис. 11 изображены две пары таких окружностей (синие и красные дуги) для двух различных значений m (у одной из пар m = 2 и, следовательно, центры находятся в точках A и B). Любая окружность с центром на прямой Шоха (голубая вертикальная прямая на рисунке), касающаяся этих окружностей, —архимедова (на рис. 11 изображены два из бесконечного количества архимедовых кругов Ву).

Голландский геометр Флур ван Ламоен (Floor van Lamoen) опубликовал в 2006 году статью “Archimedean Adventures” (PDF, 170 Кб), в которой изучены новые круги Архимеда и построены несколько бесконечных семейств кругов с помощью салинона — еще одной фигуры, введенной Архимедом в «Леммах». Кроме того, он сделал огромный каталог кругов Архимеда.

Еще один круг Архимеда (см. Bankoff circle) был найден редактором журнала «Pi Mu Epsilon Journal» Леоном Банкофом (Leon Bankoff).

На сайте Томаса Шоха Arbelos. Amazing Properties можно посмотреть анимацию нескольких конструкций кругов Архимеда.

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Работа МАН. Тела вращения. Задача Архимеда.

Тела вращения. Задача Архимеда.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Скачать:

Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Предварительный просмотр:

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования Республики Крым «Малая академия наук «Искатель»

Тела вращения. Задача Архимеда

Ковалева Ангелина Олеговна,

ученик 10 класса муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя школа № 7» города Джанкоя

Алединова Асие Эбамуслимовна, учитель математики муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя школа № 7» города Джанкоя

ВСТУПЛЕНИЕ………………………………………………………………. 3 РАЗДЕЛ 1 Теория

1.1. Из истории изучения тел вращения……………………………5

1.2. Вычисление объемов тел вращения различными способами…………………………………………………………. 10

1.4. Задача Архимеда

РАЗДЕЛ 2 Практическое применение……………………………………..20

Геометрия — удивительная наука. Задачи, включающие в себя решение и разбор тем по телам вращения меня очень заинтересовали и я постаралась в них разобраться. Решение задач на тела вращения требует глубокого проникновения в смысл условия задачи. Также, в экзаменационных вариантах единого государственного экзамена (ЕГЭ) содержатся вопросы, которые связанны с фигурами вращения, и чтобы решить их, нужно знать теоретический материал. Четкое сопоставление формул, теорем и их доказательств играет главную роль в решении таких задач.

Тема моей работы звучит так: «Тела вращения. Задача Архимеда».

Объектом исследования являются — Тела вращения.
Цель работы:

Исследование тел вращения. Систематизация теоретического материала и применение его к решению задач .

• формировать навыки самостоятельной работы с различными источниками информации ;
• углубить и расширить знания о нахождении площадей и объемов тел вращения
• формировать умения использования теоретических знаний при решении задач.

Актуальность: расширить свои знания о телах вращения.

• Узнать историю изучения тел вращения .
• Научиться применять формулы, теоремы при решении задач.
• Сделать выводы.

Объект исследования – Тела вращения.

Предмет исследования – Задачи по теме «Тела вращения».

Цель исследования – Систематизация теоретического материала и его применение к решению задач.

РАЗДЕЛ 1 ТЕОРИЯ

1.1. Из истории изучения тел вращения

Начальные сведения о телах вращения и их свойствах относят к тому времени, когда геометрия только зарождалась как будущая математическая наука. За несколько сотен лет до нашей эры земледельцы пытались вычислить количество собранного урожая по размерам куч и ёмкостей, где он хранился. Для астрономических наблюдений необходимо было изучать свойства самого шара и его частей.

Основные тела вращения, которые изучаются в школе – это цилиндр, шар и конус.

Почти каждый человек знает, как выглядит цилиндр. Слово цилиндр произошло от древнегреческого слова κύλινδρος, что в переводе означает валик, каток.

В настоящее время форму цилиндров имеет головной убор, который имеет такое же название. Одним из наиболее интересных фактов об этом теле вращения являются «Цилиндры фараона». Они представляют собой два загадочных предмета, изображенных в руках некоторых древнеегипетских изваяний. Специалисты-египтологи не могут прийти к единому мнению о происхождении данных предметов. Один неизвестный автор утверждал, что цилиндры служили для фараонов и жрецов предметами для укрепления жизненных сил и общения с богами.

С цилиндром люди знакомы с глубокой древности. Основной практической потребностью стала задача вычисления объёмов, которая и была тогда одним из стимулов развития геометрии. В математике Древнего Востока, в частности в Вавилонии и Египте, был известен ряд правил для вычисления объемов, чаще всего эмпирических. Один древнеегипетский писец Ахмес написал папирус (1800 год до н.э.), который представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер. Одними из таких задач как раз и были задачи по

определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Также Ахмес хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело к определению числа π.

Далее греческая математика помогла освободить теорию вычисления объемов от приближенных эмпирических правил. Еще в школе Платона изучались свойства призмы, пирамиды, цилиндра и конуса.

Важную роль в систематизации в определенной последовательности и изложении сведений о геометрии сыграл математик Евклид. Ему принадлежит труд «Начала», который содержит 15 книг, 13 из которых написаны Евклидом. В этом труде геометрия излагается так, как она известна и теперь под названием евклидовой геометрии

Конус – латинское слово заимствованное от древнегреческого слова κώνος, которое в переводе означает сосновая шишка.

Также как и о цилиндре, о конусе есть много интересных фактов.

Для обеспечения безопасности своего жилища и своей жизни от разрядов молний также могут помочь конусы. Они используются при установке громоотводов, с помощью которых образуется конус безопасности.

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, которая образована скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

История изучения конуса, также как и цилиндра, начинается с Древнего Востока и далее уходит в Древнюю Грецию.

В 11-ой книге «Начал» Евклида дается такое определение конуса: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Евклид рассматривает только прямой их вид. В 12-ой книге «Начал» есть теоремы, относящиеся к конусам. Это теоремы об отношении объема конуса и объема соответствующего ему

цилиндра, об отношении объемов двух конусов с равными основаниями, о площадях оснований двух равновеликих конусов.

Аполлоний Пергский, ученик Евклида, занимался сечениями конуса и изложил теорию по этой теме в восьми книгах трудов «Конические сечения». Также в этих трудах введено понятие конической поверхности, которой у Евклида не было. Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, которая называется направляющей.

Далее Архимед в своем наиболее известном трактате «О шаре и цилиндре» доказывает теорему о площади боковой поверхности равнобедренного (то есть прямого кругового) конуса.

Под шаром принято понимать тело, которое ограничено сферой, то есть считается, что шар и сфера разные геометрические тела. Однако оба этих слова происходят от одного и того же греческого слова « сфайра», что в переводе означает мяч. При этом появление слова «шар» обусловлено переходом согласных сф в ш.

В настоящее время шаром называют сокращенно словосочетание «воздушный шар». Причем это словосочетание имеет два значения: средство передвижения и игрушка.

В древности и сфера и шар всегда были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих в какой-то степени мистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». По мнению Аристотеля, шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Также он полагал, что Землю окружает ряд концентрических сфер. Сфера и шар всегда широко применялись в

различных областях науки и техники. Мяч, глобус и сфера являются символами будущего. На уровни эмблем они же являются знаками промысла, проведения, вечности, власти и могущества коронованных особ.

Каменное полушарие сферы воплощается в ступах, связанных с местом бодхисаттв в Индии. В Индонезии они приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

Таким образом, сами названия геометрических фигур показывали, что геометрия возникла для решения практических задач и с самого начала была тесно связана с практикой, с человеческим трудом.

2.1. Вычисление объемов тел вращения различными способами

Существуют различные подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии. Рассмотрим древний опыт. Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой — в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь поверхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле

С помощью этого метода люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи геометрии с практикой.

Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, имеют определенную специфику. Так как для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное.

Понятие объема вводится аксиоматически. Объем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

— равные тела имеют равные объемы;

— если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

— объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Объем — это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет свойства.

Рассмотрим общий способ вычисления объемов тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox, как показано на рисунке, вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Теорема: Объем тела вращения равен

Придадим х приращение ∆х (х+∆х b). Построим два цилиндра с общей высотой ∆х. Меньший цилиндр имеет своим основанием круг, площадью S(x), а больший – круг площадью S(x+∆x). Если ∆V- прирост объёма тела вращения, то

,

откуда .

Поскольку функция f(x) непрерывна и функция следовательно

Переходя к пределу в двойном неравенстве имеем

, то есть .

Объем V(x) является первообразной для функции на промежутке [a;b].

Теорема : объем шара равен , где R-радиус шара

На рисунке изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R;0). Уравнение окружности этого круга , откуда . Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ох образуется полушар. Следовательно откуда .

14 Вывод формул геометрических тел на основе свойств объемов

Для цилиндра и конуса.

Через систему вписанных и описанных правильных призм при условии, что . Общую величину к которой стремятся объемы вписанных и описанных правильных призм и принимают за объем цилиндра:

V ц = r 2 H

У конуса аналогично с пирамидами: .

Для сферы, полушара: проводят сечения параллельные экватору и принимают их за основание цилиндра с высотой R. Получают «ступенчатое тело», состоящее из цилиндров. Число . Число к которому стремится объем цилиндров принимают за объем полушара. Следовательно, объем шара равен 2 умноженное на объем полушара, т.е.

.

1.2. Принцип Кавальери

Задачи об измерении объема шара и площади его поверхности были решены Архимедом в его сочинении “О шаре и цилиндре”. Вот как формулировал Архимед доказанные им теоремы: “для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого шара, а высотой — прямую, равную диаметру шара, и сам будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности шара”

Итак, Архимед утверждает, что объем шара радиуса R вычисляется по формуле

V= 2/3 ( π R 2 • 2R)

а площадь его поверхности

S= 2/3 (2 π R • 2R+2 π 2 R),

Вывод формулы у Архимеда весьма сложен и занимает десятки страниц. Воспользуемся принципом, который сформулировал в ХУ11 веке итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647). Этот принцип гласит: если два тела могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная какой-либо плоскости и пересекающая оба тела, дает в сечении с ними равновеликие фигуры, то объемы таких тел равны .

Обоснование этому принципу, как и всей теории площадей и объемов криволинейных фигур, дается в интегральном исчислении, созданным Исааком Ньютоном (1643-1727) и немецким ученым Готфридом Лейбницем (1646-1716) в конце ХУ11 века. Архимед для доказательства своих теорем предвосхитил методы интегрального исчисления на 2000 лет. Архимед очень гордился этими открытиями и по его воле на его могильной плите был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия гласила, что их объемы относятся как 3:2.

Опираясь на принцип Кавальери, можно утверждать, что объем шара радиуса R равен оставшийся части цилиндра С с высотой 2R и радиусом основания R , из которого удалили два конуса, изображенные на рисунке

Действительно, площади заштрихованных сечений (круга и кольца), как нетрудно подсчитать, равны. Поэтому объем V шара радиуса R равен объему цилиндра С без удвоенного объема конуса с высотой R и радиусом основания также R , т.е.

V= π R 2 • 2R – 2/3π R 2 • R= 4/3π R 2 .

1.3. Задача Архимеда

Архимед развил методы нахождения площадей поверхностей и объёмов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили своё время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

В его произведении «О шаре и цилиндре» есть следующие теоремы:

1. Площадь поверхности сферы равна учетверённой площади её большого круга

2. Объём шара равен учетверённому объёму конуса, основанием которого служит большой круг, а высотой – радиус шара

3. Объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

4. Площадь поверхности цилиндра равна площади поверхности вписанной сферы.

Представим, что в цилиндр вписан полушар. Если представить трудно, вообразите, что в кастрюлю положили половину арбуза, который в точности подошёл и по ширине, и по высоте.

Теперь вообразите, что в тот же цилиндр вписан конус ( в ту же кастрюлю поставили воронку подходящего размера).

Если объём конуса равен 1, то оказывается, объём полушара равен 2, а объём цилиндра равен 3. Получается, что объёмы конуса, полушара и цилиндра одинакового радиуса( и такой же высоты), относятся как 1:2:3. Объём конуса в точности равен объёму, заключенному между поверхностями конуса и полушара, и в точности равен объёму, заключенному между поверхностями полушара и цилиндра.

Считается, что впервые обнаружил этот факт Архимед.

2.1. Практическое применение

Конус вписан в цилиндр

Vфигуры между цилиндром и конусом

Значит, фигура вне конуса, но внутри цилиндра имеет объём 24-8=16

📽️ Видео

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

ЗАДАЧА АРХИМЕДА!Скачать

СИЛА АРХИМЕДА. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

Урок 63 (осн). Закон АрхимедаСкачать

Урок 64 (осн). Задачи на закон Архимеда - 1Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

Закон Архимеда в действии! Выталкивающая сила)Скачать