Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Параллельные и перпендикулярные прямые

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Взаимное расположение прямых на плоскости.
  • Параллельные прямые.
  • Аксиома параллельных прямых.
  • Перпендикулярные прямые.
  • Расстояние от точки до прямой, между параллельными прямыми.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Углы, изображенные на рисунке:

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.

Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7.

Односторонние: 3 и 6; 4 и 5.

Признаки и свойства параллельных прямых.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых.

Способ построения параллельных прямых:

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваВзаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b.

Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну.

Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Перпендикулярность и параллельность прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а.

Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Разбор заданий тренировочного модуля.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

  1. Решение: ∠1 и ∠2 соответственные, по свойству параллельных прямых: ∠1 = ∠2 = 220°: 2 = 110°.
  2. ∠2 и ∠3 смежные, по свойству смежных углов: ∠2 + ∠3 = 180° значит, ∠3 = 180° – 110° = 70°.

№ 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

  1. Пусть ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы. ОК и ОР – их биссектрисы.
  2. ∠KOP = ∠КОВ + ∠ВОР. Поскольку ОК и ОВ – биссектрисы, то ∠КОВ = 1/2∠АОВ, ∠ВОР = 1/2∠ВОС по определению биссектрисы.
  3. Тогда ∠КОР = 1/2∠АОВ + 1/2∠ВОС = 1/2(∠АОВ + ∠ВОС) = 180° : 2 = 90°.
  4. Итак, ОК ⏊ ОР т. е. прямые перпендикулярны.

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваНеобходимо запомнить названия следующих углов:

  1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
  2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
  3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

  1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
  2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
  3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваАксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Следствия из аксиом параллельных прямых

  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваНа данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

  • Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваПо данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Видео:Математика 6 класс: Параллельные и перпендикулярные прямыеСкачать

Математика 6 класс: Параллельные и перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваНа рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваНа данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

Видео:Параллельные и перпендикулярные прямые.Скачать

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Определение.1. Параллельные прямое
Определение.2. Перпендикулярные прямые
Теорема.1. I свойство параллельных прямых
Теорема.2. II свойство параллельных прямых
Теорема.3. III свойство параллельных прямых
Теорема.4. IV свойство параллельных прямых
Теорема.5. V свойство параллельных прямых
Теорема.6. I признак параллельных прямых
Теорема.7. II признак параллельных прямых
Теорема.8. III признак параллельных прямых
Теорема.9. IV признак параллельных прямых
Теорема 10. V признак параллельных прямых
Теорема 11. Две прямые, параллельные третей
Теорема 11.1 Следствие
Теорема 12. Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых
Теорема 13. Отрезки параллельных прямых
Теорема 14. Теорема Фалеса
Теорема 14.1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла
Теорема 15. Прямая, перпендикулярна одной из параллельных прямых
Теорема 16. Две (и более) прямые, перпендикулярные третей прямой

Определение 1. Параллельными называются прямые, которые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.
На рисунке a и b.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Определение 2. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом.
На рисунке c и d.
Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваПри пересечении пары прямых (параллельных в данном случае) некой прямой (такая прямая называется секущей прямой) образуются (акромя пройденных нами в теме углы смежных и вертикальных) следующие углы:
Внутренние накрестлежащие углы — 2 и 8; 3 и 5
Внешние накрестлежащие углы — 1 и 7; 4 и 6
Внутренние односторонние углы — 2 и 5; 3 и 8
Внешние односторонние углы — 1 и 6; 4 и 7
Соответственные углы — 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8
Между этими углами можно вывести закономерности. Свойства параллельных прямых:
Теорема 1. Внутренние накрестлежащие углы равны

Доказательство: Пусть a и b — две параллельные прямые, c — секущая, A и B — точки пересечения секущей с этими прямыми. Пусть утверждение теоремы ложно. Проведем тогда через точку A прямую d, такую что внутренние накрест лежащие углы при прямых b и d и секущей c равны. Тогда по первому признаку параллельности прямых, прямые b и d параллельны. Но прямые b и a параллельны. Значит, через точку A проходят две прямые — a и d, параллельные прямой b. Это противоречит IX аксиоме. Значит, утверждение теоремы верно. Теорема доказана.
Теорема 2. Внешние накрестлежащие углы равны

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 3. Сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 4. Сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 5. Соответственные углы равны

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства

Теорема 6. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внутренние накрестлежащие углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными
Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства
Доказательство: Пусть прямые a и b пересекаются секущей в точках A и B, но прямые a и b пересекаются в точке C (рис. 15). Секущая c разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник ABD, равный треугольнику ABC, с вершиной D в другой полуплоскости. Угол DAB равен углу ABC, а значит, точка D лежит на прямой a по условию. Аналогично точка D лежит на прямой b. Следовательно, точка D принадлежит прямым a и b. Значит, прямые a и b пересекаются в двух точках — C и D. Противоречие. Значит, исходное предположение не верно. Теорема доказана.
Теорема 7. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внешние накрестлежащие углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 8. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 9. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 10. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с соответственные углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваТеорема 11. Две прямые, параллельные третей, параллельны.

Доказательство: Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что прямые a и b не па-раллельны. Тогда либо прямые a и b совпадают, что противоречит условию, либо пересекаются в не-которой точке S. Тогда через точку S проходит две прямые — a и b, параллельные прямой c, что противоречит IX аксиоме. Значит, исходное предположение не верно. Теорема доказана.
Теорема 11.1. Если параллельно одной из двух параллельных прямых провести третью прямую, вторая из этих прямых либо параллельна третьей, либо совпадает с ней.

Доказательство: Очевидно из теоремы 11 параллельности прямых.
Теорема 12. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую.
Теорема 13. Отрезки параллельных прямых, заключенные между некой (иной) парой параллельных прямых, равны.
Теорема 14. (Теорема Фалеса) Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойства
Доказательство: Пусть A1, A2, A3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, и точка A2 лежит между точками A1 и A3. Пусть B1, B2, B3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3. Проведем через точку B2 прямую EF, параллельную прямой A1A3. Треугольники EB2B1 и FB2B3 равны по второму признаку равенства треугольников. У них стороны EB2 и FA2 равны по условию, углы B1B2E и B3B2F равны как вертикальные, а углы B1EB2 и B2FB3 равны как внутренние накрест лежащие при секущей EF. Значит, B1B2 = B2B3. Что и требовалось доказать.
Теорема 14.1.. Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки.

Взаимное расположение прямых параллельные и перпендикулярные прямые свойстваТеорема 15. Две (и более) прямые, перпендикулярные третей прямой, параллельны.

Доказательство: Действительно, внутренние накрест лежащие углы равны 90°. Следовательно, по первому признаку параллельных прямых, эти прямые параллельны.
Теорема 16. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Доказательство: Очевидно из теоремы 15.

📽️ Видео

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Геометрия 7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Перпендикулярные прямые. Примеры построения.Скачать

Геометрия 7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Перпендикулярные прямые. Примеры построения.

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: