Параллельные прямые в пространстве задачи с решениями и пояснениями

Разделы: Математика

Класс: 10

Цель урока:

• Знать признак параллельности прямой и плоскости, уметь применять его при решении задач;
• Воспитывать у учащихся точность, аккуратность;
• Развивать логическое мышление учащихся.

1. Организационный момент

2. Актуализация прежних знаний

Один ученик у доски доказывает признак параллельности прямой и плоскости.

Остальные отвечают на вопросы:

1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?
2. Сформулируйте теорему о параллельных прямых.
3. Какие возможны случаи взаимного расположение прямой и плоскости?
4. Какие прямая и плоскость называются параллельными?
5. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
6. Дан куб А. D₁. Назовите четыре пары параллельных прямых и четыре пары пересекающихся прямых.

Выслушивается доказательство теоремы.

3. Решение задач

1). Задача 1 (условие и рисунок к задаче записаны на доске или на экране)

МN — средняя линия треугольника АВС, значит МN || АВ, АВ a .

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).

2). Задача 2 (условие и рисунок к задаче записаны на доске или на экране)

МN — средняя линия трапеции АВСD, значит МN || АВ; АВ a (по условию),

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).

3). № 26 (Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян и др.)

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.

Перед решением данной задачи необходимо вспомнить признаки подобия треугольников.

1. По утверждению 1° : МN || АC. Тогда угол А = углу ВМN (как односторонние при параллельных прямых).

2. угол В — общий.

З. Таким образом, по двум углам треугольник АВС подобен треугольнику МВN.

4). № 28 (Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян и др.)

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС.

Из условия задачи № 26: треугольник АВС подобен треугольнику АDЕ.

Тогда АВ/АD = ВС/DЕ, 5/3 = х/5, х = 25/3, х = 8 1 /_3.

Подведение итогов урока

Математический диктант

1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?
2. Cформулируйте теорему о параллельных прямых.
3. Какие прямая и плоскость называются параллельными?
4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
5. Верно ли утверждение: если одна из двух прямых параллельна плоскости, а вторая пересекает эту плоскость, то прямые параллельны.

5. Домашнее задание: №27, № 30, № 31.

Использованная литература

1. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасян и др. Часть 1 / Сост. Д.Ф. Айвазян — Волгоград: Учитель — АСТ, 2004.

Содержание

1. 10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
2. 10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.
3. Вопросы
4. Поделись с друзьями
5. Комментарии преподавателя
6. 1. Тема урока
7. 2. Задача 1
8. 3. Повторение утверждения 2
9. 4. Задача 2
10. 5. Задача 3
11. 6. Задача 4
12. 7. Повторение утверждения 1
13. 8. Итоги урока
14. Презентация «Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»»
15. 💡 Видео

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

1. Тема урока

Решение типовых задач на параллельность прямой и плоскости.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

2. Задача 1

Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Через точку А проведем прямую АМ, параллельную прямой а (Рис. 1.). Докажем, что прямая АМ совпадает с прямой АВ.

Прямая АМ и а параллельны, а прямая а параллельна плоскости α. Тогда, по утверждению 2, АМ либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней, но так как, точка А прямой АМ лежит в плоскости α, то прямая АМ лежит в плоскости α.

Аналогично покажем что, прямая а лежит и в плоскости β. Так как, прямые АВ и а параллельны, а прямая а параллельна плоскости β, то по утверждению 2, АМ либо параллельна плоскости β, либо лежит в ней, но так как, точка А прямой АМ лежит в плоскости β, то прямая АМ лежит в плоскости β.

Имеем, что прямая АМ одновременно лежит и в плоскости α, и в плоскости β, то есть совпадает с линией пересечения плоскостей — прямой АВ. Значит, АВ параллельна а, что и требовалось доказать.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

3. Повторение утверждения 2

Ключом к решению данной задачи являлось утверждение 2. Повторим его.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости (Рис. 2.), либо лежит в плоскости (Рис. 3.).

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

4. Задача 2

Через две параллельные прямые а и bпроходят плоскости α и β соответственно (Рис. 4.). Доказать, что линия lих пересечения параллельна прямым а и b.

По условию прямая а параллельна прямой b, расположенной в плоскости β. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна плоскости β.

Плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой l. Согласно утверждению 1, прямая l параллельна прямой а.

Аналогично, прямая b параллельна прямой а, расположенной в плоскости α. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая b параллельна плоскости α.

Плоскость β проходит через прямую b, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой l. Согласно утверждению 1, прямая l параллельна прямой b.

Мы доказали, что прямые а и b параллельны прямой l. Задача решена.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

5. Задача 3

Докажите, что если данная прямая m параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Пусть нам даны плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l, прямая m параллельна прямой l и не лежит в плоскостях α и β (Рис. 5.). Докажем, что m параллельна и плоскости α, и плоскости β.

Заметим, что прямая l лежит в плоскости α, а по условию, прямая m параллельна прямой l. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая m параллельна плоскости α.

Аналогично, прямая l лежит в плоскости β, по условию, прямая m параллельна прямой l. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая m параллельна плоскости β.

Итак, прямая m параллельна и плоскости α, и плоскости β, что и требовалось доказать.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

6. Задача 4

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N (рис. 6.). Докажите, что треугольники АВС и MBN подобны.

Плоскость треугольника АВС проходит через прямую АС, которая параллельна плоскости α и пересекает плоскость α по прямой MN. Значит, прямая АС параллельна MN по утверждению 1.

Рассмотрим треугольники АВС и MBN. Прямая АС параллельна MN, эти прямые пересекает прямая АВ, значит, углы ∠ВАС и ∠ВMN равны как соответственные углы. Угол ∠В – общий для треугольников АВС и MBN. Треугольники АВС и MBN подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

Видео:Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

7. Повторение утверждения 1

Для решения задачи мы использовали утверждение 1. Повторим его.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Дана плоскость и прямая а, которая параллельна плоскости (Рис. 7.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей и – прямая b будет параллельна прямой а.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

8. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели четыре задачи на параллельность прямой и плоскости. На следующем уроке будут рассмотрены более сложные задачи по этой теме.

Видео:10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямыхСкачать

Презентация «Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»»

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Решение задач по теме

«Параллельность прямых и

Какие прямые в пространстве называются параллельными?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

Дайте определение скрещивающихся прямых.

Прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися

Когда прямая и плоскость называются параллельными?

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

Дайте определение параллельности плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

1. Теорема о параллельных прямых: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

2. Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

3. Если две прямые параллельны третьей прямой, то … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

4. Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

5. Признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

6. Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

7. Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то … .

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание:

8. Свойство параллельных плоскостей: отрезки параллельных прямых, заключённые между … .

Ответы на тест 1 – б 4 – г 2 – в 5 – в 3 – д 6 — д

Через точку О, лежащую между параллельными

плоскостями α и β, проведены прямые l и m.

Прямая l пересекает плоскости α и β в точках

D1 и D2 соответственно, прямая m — в точках

С1 и С2. Найдите длину отрезка D1D2 , если

D1О = 6 см, С2D2 : С1D1 = 2 : 3.

💡 Видео

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

4. Параллельные прямые в пространствеСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Видеоурок "Параллельные прямые в пространстве"Скачать

Параллельность прямых в пространстве| Репетитор по математике Ольга АнисимоваСкачать

Параллельность прямой и плоскости. Решение задач по теме Параллельность прямых, прямой и плоскости.Скачать

Параллельные прямые. Видеоурок 2. Геометрия 10 классСкачать

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теорияСкачать

решение задач на параллельность прямыхСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать