Взаимно перпендикулярные треугольники это

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 .

Дано: Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ, Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1.

Доказать: Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 или Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 — будет развернутым, тогда Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = 90 0 , то ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоОВ, при этом по условию ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, следовательно, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1. Итак, О1В1 — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. Взаимно перпендикулярные треугольники это1 + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 , откуда Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 Взаимно перпендикулярные треугольники это1, при этом по условию ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, значит Взаимно перпендикулярные треугольники это1 — прямой, т.е. Взаимно перпендикулярные треугольники это1 = 90 0 , следовательно, Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = 90 0 и Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 следует, что Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 и Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

3 случай

Пусть ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1 (Рис.3).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

По условию ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1. Итак, ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 , тогда Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 (Рис.4).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

По условию ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1. Итак, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 , тогда Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 (Рис.5).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Получим, что Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = 90 0 Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОD, а Взаимно перпендикулярные треугольники этоСОD = 90 0 — Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОD, значит Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоСОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоОС и по условию ОАВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1), также ОDВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 (т.к. по построению ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоОD и по условию ОВВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоСОD = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоСОD + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоСОD получим, либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 .

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1А1, ОВзаимно перпендикулярные треугольники этоО1В1 (Рис.7).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОС + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 , либо Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОС = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОС = 180 0 Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ, следовательно, в первом случае 180 0 Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 , откуда Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, а во втором случае 180 0 Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ = Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1, откуда Взаимно перпендикулярные треугольники этоАОВ + Взаимно перпендикулярные треугольники этоА1О1В1 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

184. Общая сторона АВ треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Построим СМ L АВ и отрезок MD.

В равностороннем ΔABC: СМ — высота, значит, и медиана,

Взаимно перпендикулярные треугольники это

В ΔABD: DM — медиана и высота, то есть

Взаимно перпендикулярные треугольники это

∠CMD — линейный угол внутреннего угла CABD,

Взаимно перпендикулярные треугольники этоВзаимно перпендикулярные треугольники этоВзаимно перпендикулярные треугольники это

(по теореме Пифагора для ΔCMD).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Построим СМ ⊥ АВ; СМ — высота и медиана в равнобедренном ΔАСВ; проводим отрезок DM, DM -медиана в равнобедренном ΔABD, следовательно, и высота, MD ⊥ AB.

Взаимно перпендикулярные треугольники этоВзаимно перпендикулярные треугольники это

(по т. Пифагора для ΔCMD).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Взаимно перпендикулярные треугольники это Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №184
к главе «Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.».

Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

Математика

В двух треугольниках, имеющих равные углы, стороны, лежащие против одинаковых углов, называются сходственными (соответственными).

В треугольниках ABC и DEF (черт. 152), в которых

стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF, лежащие против равных углов C и F, A и D, B и E будут соответственными сторонами.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Определение подобных треугольников. Подобными называются такие два треугольника, у которых углы равны и сходственные стороны пропорциональны.

Если в двух треугольниках (черт. 152) ABC и DEF углы равны

и соответственные стороны пропорциональны

AB/DE = AC/DF = BC/EF

то треугольники называются подобными.

Подобие обычно выражают знаком ∼.

Подобие двух треугольников изображают письменно:

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Случаи подобия треугольников

Теорема 89. (Первый случай подобия.) Два треугольника подобны, если три угла одного равны трем углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF углы равны (черт. 153).

Требуется доказать, что они подобны. Для этого нужно доказать, что их стороны пропорциональны, т. е. удовлетворяют отношениям:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Наложим треугольник DEF на ABC так, чтобы вершина E совпала с вершиной B, сторона ED со стороной AB. По равенству углов B и E сторона EF пойдет по стороне BC. Положим, точка D упадет в D’, а точка F в E’. Треугольник D’BE’ равен треугольнику DEF, следовательно,

Если соответственные углы равны, то D’E || AC.

По теореме 86 имеют место равенства

AC/D’E’ = AB/BD’ = BC/BE’

Так как BD’ = ED, BE’ = EF, D’E’ = DF, то

AC/DF = AB/ED = BC/EF (ЧТД).

Теорема 90 (второй случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по два равных угла.

Доказательство. Если в двух треугольниках ABC и DEF два угла равны (черт. 153).

то и третьи углы тоже равны, а в таком случае треугольники подобны (теорема 89).

Теорема 91 (третий случай подобия). Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, заключающемуся между пропорциональными сторонами.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 153) углы B и E равны, и стороны, их содержащие, пропорциональны, т. е.

∠B = ∠E и AB/DE = BC/EF.

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Доказательство. Совместим угол E с углом B, и отложим BD’ = ED, BE’ = EF, тогда ∆ BD’E’ = ∆ DEF, следовательно,

Так как имеет место пропорция

то сторона D’E’ || AC (теорема 87).

Поэтому ∠D’ = ∠A, ∠C = ∠E’.

т. е. три угла одного равны трем углам другого треугольника.

В этом же случае треугольники ABC и DEF подобны (ЧТД).

Теорема 92 (четвертый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Дано. В треугольниках ABC и abc (черт. 154) стороны пропорциональны:

AB/ab = BC/bc = AC/ac (1)

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Требуется доказать, что у них углы равны, т. е.

Доказательство. Отложим на стороне BA отрезок Ba’, равный ba, и проведем отрезок a’c’, параллельный AC, тогда будут иметь место отношения:

AB/Ba’ = BC/Bc’ = AC/a’c’

Так как Ba’ = ba, то рядом с этими имеют место отношения:

AB/ab = BC/Bc’ = AC/a’c’ (2)

Сопоставляя отношения (1) и (2), заключаем, что

следовательно, два треугольника a’Bc’ и abc равны, откуда

∠B = ∠b, ∠Ba’c’ = ∠a, ∠Bc’a’ = ∠c

∠A = ∠a’, ∠C = ∠c’, то
B = b, A = a, C = c,

следовательно, углы двух треугольников ABC и abc равны (ЧТД).

Теорема 93 (пятый случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного параллельны сторонам другого.

Доказательство. Здесь могут быть два случая:

1-й случай. Если углы двух треугольников с параллельными сторонами обращены в одну сторону. В таком случае в двух таких треугольниках ABC и abc (черт. 155) все углы одного соответственно равны углам другого, и, следовательно, треугольники подобны.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

2-й случай. Когда углы с параллельными сторонами обращены в разные стороны. Так в треугольниках ABC и a’b’c’ стороны параллельны.

AB || a’b’, AC || a’c’, BC || b’c’.

Углы же между параллельными сторонами обращены в разные стороны.

В таком случае, продолжив стороны a’c’ и a’b’, откладываем на продолжении их части a’b» = a’b’ и a’c» = a’c’.

Треугольники a’b»c» и a’b’c’ равны. Треугольник a’b»c» подобен треугольнику ABC, ибо у него стороны параллельны и углы, направленные в одну сторону, равны, следовательно,

a’b»c», следовательно, ∆ ABC

a’b’c’ и
AB/a’b’ = AC/a’c’ = BC/b’c’

Теорема 94 (шестой случай подобия). Два треугольника подобны, если стороны одного перпендикулярны к сторонам другого.

Даны два треугольника ABC и abc (черт. 156), стороны которых перпендикулярны:

ab ⊥ AB, ac ⊥ AC, bc ⊥ BC

Требуется доказать, что треугольники подобны.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Продолжим стороны ac и bc до пересечения их со сторонами AC и BC в точках n и p. Тогда в двух треугольниках mcn и mCp все углы равны, ибо

n = p как прямые

Углы при точке m равны как вертикальные,

а следовательно, и третьи углы равны ∠pCm = ∠mcn.

∠pCm = ∠ACB, ∠mcn = ∠acb

Подобным же образом можно доказать, что A = a, B = b, следовательно, треугольники ABC и abc подобны и имеет место пропорция

AB/ab = AC/ac = BC/bc

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 95. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

Дано. У прямоугольных треугольников ABC и abc (черт. 157) острые углы C и c равны.

Требуется доказать, что треугольники ABC и abc подобны.

Доказательство. Углы B и b равны как прямые, углы C и c равны по условию, следовательно, они подобны (теорема 90).

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Теорема 96. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональна катету и гипотенузе другого.

Дано. В прямоугольных треугольниках ABC и abc (черт. 157)

Требуется доказать, что ∠A = ∠a, ∠C = ∠c.

Доказательство. Отложим на отрезке BA отрезок Bm, равный ba и из точки m проведем отрезок mn, параллельный ac, тогда имеет место пропорция:

Так как Bm = ab по построению, то, сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что ac = mn, следовательно, два прямоугольных треугольника Bmn и abc, имея по равному катету и равной гипотенузе, равны.

Действительно, у них Bm = ab, mn = ac. У равных треугольников и углы равны:

∠m = ∠a = ∠A и ∠n = ∠c = ∠C

следовательно, два треугольника ABC и abc подобны.

Теорема 97. В подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам.

Даны два подобных треугольника ABC и FED (черт. 158), следовательно,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D и
AB/FE = BC/ED = AC/DF

и проведены высоты BH и Eh.

Требуется доказать, что AB/FE = BH/Eh.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Прямоугольные треугольники ABH и FEh подобны, ибо ∠A = ∠F по условию, ∠AHB = ∠FhE как прямые, следовательно,

Теорема 98. Прямая, разделяющая угол треугольника пополам, делит его противоположную сторону на части пропорциональные двум другим сторонам.

Дано. Отрезок BD делит угол B треугольника ABC пополам (черт. 159).

∠ABD = ∠DBC или ∠ α = ∠ β

Требуется доказать, что AB/BC = AD/DC.

Доказательство. Проведем из точки A отрезок AF параллельный BD до пересечения его с прямой BC в точке F. В треугольнике FBA

∠AFB = ∠ β как соответственные углы,
∠FAB = ∠ α как внутренние накрест-лежащие углы от пересечения параллельных AF и BD третьей прямой AB.

Так как ∠ α = ∠β по условию, то

∠AFB = ∠FAB, т. е. треугольник FAB равнобедренный, поэтому FB = AB.

Из того, что AF || BD вытекает пропорция:

Заменяя FB равным отрезком AB, получим пропорцию:

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Теорема 99 (обратная 98). Прямая, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам, делит угол при вершине пополам.

Дано. В треугольнике ABC (черт. 159) прямая BD рассекает противоположную сторону так, что имеет место пропорция:

Требуется доказать, что ∠ α = ∠β .

Доказательство. Проведем отрезок AF параллельно BD, тогда из треугольника AFC вытекает пропорция:

Сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что FB = AB, следовательно,

Так как ∠ α = ∠ FAB, ∠β = ∠ AFB, то и

Видео:Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, среднепропорционален между частями гипотенузы.

Дано. В треугольнике ABC угол ABC прямой (черт. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC подобны, ибо углы при точке D равны как прямые; кроме того из равенств ∠A + ∠ α = d, ∠ α + ∠β = d вытекает

A + α = α + β, или A = β, следовательно и C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC вытекает пропорция

Примечание. Если составляют одно отношение из сторон одного треугольника, то другое отношение составляется из соответственных сторон другого треугольника. При этом рассуждают следующим образом: против стороны AD лежит угол α , которому в подобном треугольнике BCD равен угол C, а против него лежит сходственная сторона BD треугольника BCD и т. д.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Теорема 101. Каждый катет среднепропорционален между целой гипотенузой и отрезком, прилежащим катету.

Доказательство. a) Треугольники ABC и ABD (черт. 160) подобны, ибо ∠ ABC = ∠ADB как прямые, ∠A общий, следовательно,

Из подобия треугольников вытекает пропорция:

b) Треугольники ABC и BCD подобны, ибо ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C общий, следовательно,

∠A = ∠ β, откуда
DC/BC = BC/AC (b)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

AB 2 = AD · AC
BC 2 = DC · AC

Складывая их, получим:

AB 2 + BC 2 = AD · AC + DC · AC или
AB 2 + BC 2 = AC (AD + DC) = AC · AC = AC 2 , т. е.
AC 2 = AB 2 + BC 2

Взаимно перпендикулярные треугольники это

a) Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.

b) Катет равен корню квадратному из квадрата гипотенузы без квадрата другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Дано. В квадрате ABCD проведена диагональ AC (черт. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD есть величина несоизмеримая.

Доказательство. Станем сравнивать больший отрезок AC с меньшим BC по обыкновенным приемам нахождения общей меры, т. е. наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т. д.

a) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Отложив отрезок AE, равный AB или BC, мы видим, что отрезок BC уложился один раз, ибо

Так как AB = BC, то 2BC > AC и BC > ½AC, следовательно, первый остаток EC 2 = AB 2 + BC 2 .

Так как AB = BC, то AC 2 = 2AB 2 , откуда AC = AB √ 2 и AC/AB = √ 2 величина несоизмеримая.

Видео:№211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, есСкачать

№211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, ес

Соотношение между сторонами остроугольного и тупоугольного треугольника

Теорема 104. Квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника без удвоенного произведения основания на отрезок, заключающийся между вершиной острого угла и высотой.

Здесь могут быть два случая: 1) когда перпендикуляр, выражающий высоту, пойдет внутри и 2) когда он пойдет вне треугольника.

Первый случай. Перпендикуляр BD (черт. 162), опущенный из вершины B на основание AC треугольника ABC, пойдет внутри треугольника.

Требуется доказать, что AB 2 = BC 2 + AC 2 — 2AC · DC.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Для прямоугольного треугольника ABD имеем равенство:

AB 2 = BD 2 + AD 2 (a)
AD = AC — DC, AD 2 = (AC — DC) 2 = AC 2 + DC 2 — 2AC · DC

Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

BD 2 = BC 2 — DC 2

Вставляя величины BD 2 и AD 2 в равенство (a), получим:

AB 2 = BC 2 — DC 2 + AC 2 + DC 2 — 2AC · DC, откуда
AB 2 = BC 2 + AC 2 — 2AC · DC (ЧТД).

2-й случай. Перпендикуляр BD (черт. 163) лежит вне треугольника ABC.

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

AB 2 = BD 2 + DA 2

Из прямоугольного треугольника BCD имеем:

BD 2 = BC 2 — CD 2

AB 2 = BC 2 — CD 2 + DA 2 .

DA = CD — AC
DA 2 = (CD — AC) 2 = CD 2 + AC 2 — 2CD · AC, то
AB 2 = BC 2 — CD 2 + CD 2 + AC 2 — 2CD · AC, откуда
AB 2 = BC 2 + AC 2 — 2CD · AC (ЧТД).

Теорема 105. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов прочих двух сторон треугольника с удвоенным произведением основания на отрезок его от вершины тупого угла до высоты.

Дано. В тупоугольном треугольнике ABC отрезок CD (черт. 164) есть отрезок, лежащий между вершиной тупого угла и высотой.

Требуется доказать, что

AB 2 = AC 2 + BC 2 + 2AC · CD

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Из тупоугольного треугольника ABC имеем:

AB 2 = BD 2 + AD 2 (a)
AD = AC + CD, AD 2 = AC 2 + CD 2 + 2AC · CD

Из прямоугольного треугольника BCD вытекает, что

BD 2 = BC 2 — CD 2

Заменяя AD 2 и BD 2 в равенстве (a), получим:

AB 2 = BC 2 — CD 2 + AC 2 + CD 2 + 2AC · CD

AB 2 = BC 2 + AC 2 + 2AC · CD (ЧТД).

Теорема 106. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырех сторон параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD (черт. 165) и проведены его диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Опустив перпендикуляры BE и CF, имеем из косоугольного треугольника ABD равенство:

BD 2 = AB 2 + AD 2 — 2AD · AE (1)

Из тупоугольного треугольника ACD равенство:

AC 2 = CD 2 + AD 2 + 2AD · DF (2)

Отрезки AE и DF равны, ибо прямоугольные треугольники ABE и DCF равны, так как они имеют по равному катету и равной гипотенузе.

Сложив равенства (1) и (2), имеем:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + CD 2 + AD 2

Так как AD = BC, то

BD 2 + AC 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 (ЧТД).

Теорема 107. Сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме удвоенного квадрата отрезка, соединяющей вершину с серединой основания, с удвоенным квадратом половины основания.

Дано. Соединим вершину B с серединой основания D треугольника ABC так, что AD = DC (черт. 166).

Требуется доказать, что

AB 2 + BC 2 = 2AD 2 + 2BD 2

Взаимно перпендикулярные треугольники это

Доказательство. Проведем высоту BE.

Из прямоугольных треугольников ABE и BCE вытекают равенства:

AB 2 = BE 2 + AE 2
BC 2 = BE 2 + CE 2

Сложив их, находим:

AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + AE 2 + CE 2 (a)

Так как AE = AD + DE = CD + DE, CE = CD — DE, то

AE 2 = (CD + DE) 2 = CD 2 + DE 2 + 2CD · DE
CE 2 = (CD — DE) 2 = CD 2 + DE 2 — 2CD · DE

AE 2 + CE 2 = 2CD 2 + 2DE 2 (b)

Заменяя в равенстве (a) сумму AE 2 + CE 2 из равенства (b), имеем:

AB 2 + BC 2 = 2BE 2 + 2CD 2 + 2DE 2 .

Из прямоугольного треугольника BDE видно, что

BE 2 = BD 2 — DE 2

AB 2 + BC 2 = 2BD 2 — 2DE 2 + 2CD 2 + 2DE 2

🎦 Видео

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Теорема о трех перпендикулярах. Признак перпендикулярности плоскостей | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема о трех перпендикулярах. Признак перпендикулярности плоскостей  | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярныСкачать

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осяхСкачать

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осях

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярным

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

6 класс, 43 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

6 класс, 43 урок, Перпендикулярные прямые

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника
Поделиться или сохранить к себе: