Высоты треугольника пересекаются в центре вписанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Все, что нужно знать о треугольнике

При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

• Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
• Нанести все данные из условия задачи на чертеж
• Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
• Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
• Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. ,

здесь — произвольная сторона треугольника, — высота, опущенная на эту сторону.

2. ,

здесь и — произвольные стороны треугольника, — угол между этими сторонами:

3. Формула Герона:

— здесь — длины сторон треугольника, — полупериметр треугольника,

4. ,

здесь — полупериметр треугольника, — радиус вписанной окружности.

Пусть — длины отрезков касательных.

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5.

6. ,

здесь — длины сторон треугольника, — радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

,

здесь — медиана, проведенная к стороне , — длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

— здесь — длины сторон треугольника, — площадь треугольника.

,

где — длина стороны треугольника, — противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

c» title=»a+b>c»/>

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если , то и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Прямоугольный треугольник

— это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

,

здесь — радиус вписанной окружности, — катеты, — гипотенуза:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

:

Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

— угол при вершине.

и — боковые стороны,

и — углы при основании.

— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

,

где — длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Тригонометрические функции внешнего угла:

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
4. ,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .

— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).

📺 Видео

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Радиус описанной окружностиСкачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Треугольник и окружность #shortsСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать