В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.
Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Свойство 1
Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.
- BD – высота, опущенная на сторону AC;
- BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
- BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
- BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.
Свойство 2
Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.
Свойство 3
Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.
Свойство 4
Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Свойство 5
Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.
Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.
Свойство 6
Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Пример задачи
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.
Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):
Высота равностороннего треугольника
Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?
(свойство высоты равностороннего треугольника)
В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.
Доказательство :
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
Проведём высоту BF.
По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и биссектрисой
(то есть, AF=FC, ∠ABF=∠CBF).
Аналогично, рассмотрев треугольник ABC как равнобедренный с основанием BC и треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, доказываем, что высоты AK и CD являются также его медианами и биссектрисами
(то есть, BK=KC, ∠BAK=∠CAK; AD=BD, ∠ACD=∠BCD).
Что и требовалось доказать .
(свойство высот равностороннего треугольника)
Все три высоты равностороннего треугольника равны между собой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
AK, BF и CD — его высоты.
В прямоугольных треугольниках ABF, BCD и CAK:
гипотенузы AB, BC и CA равны по условию,
∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника).
Следовательно, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по гипотенузе и острому углу).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=CD=AK.
Что и требовалось доказать .
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы равны между собой.
1) Найдём высоту равностороннего треугольника через его сторону.
В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.
Отсюда формула высоты равностороннего треугольника через его сторону:
(2-й способ: из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора
2) Выразим высоту равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.
Точка O — центр правильного треугольника — является также центром его вписанной и описанной окружностей. Как центр вписанной окружности O — точка пересечения биссектрис треугольника. В правильном треугольнике биссектрисы и медианы совпадают. Следовательно, также является O точкой пересечения медиан.
А так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то BO:OF=2:1, то есть
BO — радиус описанной окружности, OF — вписанной: BO=R, OF=r.
Следовательно, высота равностороннего треугольника равна трём радиусам вписанной окружности:
и в полтора раза больше радиуса описанной окружности:
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .