Ваш ответ
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,061
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Точка о центр вписанной окружности треугольника abc луч ао пересекает
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а 
а) Пусть O — центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO − биссектрисы. Обозначим углы 
: 
Тогда 
и 
(опираются на одну дугу). Имеем: 
Но также 
как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:
б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 o , следовательно, 
как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний, его площадь равна 
По теореме синусов, 
Следовательно, искомая площадь 
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):
1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.
2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.
В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, а поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.
Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Задание 16. ЕГЭ. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности.Задание. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е. а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО. б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60 0 . Решение: а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО. Так как точка О – центр вписанной в треугольник ΔАВС окружности, то она является точкой пересечения биссектрис CО, ВО и AО треугольника ΔАВС. Угол ∠ЕОС – внешний угол треугольника ΔВОС, тогда ∠ЕОС равен сумме двух углов треугольника ΔВOС, не смежных с ним, т. е. ∠ЕОС = ∠ВСО + ∠СВО Так как СО – биссектриса угла ∠С треугольника ΔАВС, то Так как BО – биссектриса угла ∠B треугольника ΔАВС, то Угол ∠ECО равен: ∠ECО = ∠АСO + ∠ECA Угол ∠АСO = ∠ВCО (CО – биссектриса). Угол ∠ECA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE. На дугу ᴗAE также опирается угол ∠AВE = ∠CВO (BО – биссектриса). Значит, ∠ECО = ∠ВCО + ∠CBО, т.е. Следовательно, ∠ЕОС = ∠ЕСО. б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60 0 . Около треугольника ΔCВE описана окружность с радиусом R = 6√3 и ∠CВE =∠CВО = 30 0 , тогда для треугольника ΔCBE справедливо равенство Угол ∠CBE – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗCE, угол ∠EВA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE. Так как ∠СВЕ = ∠ЕВА, то ᴗCE = ᴗAE и хорды СЕ и АЕ равны, т. е. СЕ = АЕ = 6√3. Угол ∠АBС = 60 0 – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗАEС и ᴗАEС = 120 0 . Значит, дуга ᴗАВС = 360 0 — ᴗАEС = 360 0 – 120 0 = 240 0 . Угол ∠АЕС – вписанный в окружность угол равен половине дуги ᴗАВC, на которую он опирается, т. е. угол ∠АЕС = 120 0 . Площадь треугольника ΔАСЕ равна Ответ: 27√3 |