 Вписанные четырехугольники и их свойства |
| Теорема Птолемея |
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
| Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма |  | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около ромба |  | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около трапеции |  | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около дельтоида |  | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Произвольный вписанный четырёхугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около параллелограмма | ||
| Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |
| Окружность, описанная около ромба | ||
| Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |
| Окружность, описанная около трапеции | ||
| Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |
| Окружность, описанная около дельтоида | ||
| Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |
| Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
| ||
| Окружность, описанная около параллелограмма |
|
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
 | (1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.
Теорема.
В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).
Обратная теорема:
Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.
Пусть ABCD — вписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:
Углы B и D, как вписанные будут равны: первый — половиной дуги ADС, второй — половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .
Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.
Следствия.
1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.
2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
Выпуклый четырехугольник
Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ) .
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник (ABCD) и проведем его диагональ (AC) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна (180^circ) , следовательно:
[begin 360^circ=180^circ+180^circ=(angle DAC+angle D+angle ACD) + (angle CAB+angle B+angle ACB)=\ =angle D+angle B +(angle DAC+angle CAB)+(angle ACD+angle ACB)=angle D+angle B+angle A+angle C end]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника (ABCD) . Рассмотрим (triangle ABC) : (MN) – средняя линия этого треугольника, следовательно, (MNparallel AC) .
Рассмотрим (triangle ADC) : (PK) – средняя линия этого треугольника, следовательно, (PKparallel AC) .
Таким образом, (MNparallel ACparallel PK) .
Аналогичным образом доказывается, что (MPparallel BDparallel NK) .
Следовательно, по определению (MNKP) – параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике (ABCD) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: [AB^2+CD^2=BC^2+AD^2]
Доказательство
По теореме Пифагора:
Из равенств видно, что (AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.