- Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
- Направление и интенсивность потока векторного поля
- Вычисление потока векторного поля: примеры
- Вычислить поток через треугольник
- Контакты
- Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
- Замечание:
- Пример 4:
- 📺 Видео
Видео:Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать
Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.
Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле
и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.
Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл
.
Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода
.
.
поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода
.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.
Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.
Если поток векторного поля — поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .
Видео:Непосредственное вычисление потокаСкачать
Вычисление потока векторного поля: примеры
Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .
Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:
.
Длина вектора нормали:
.
Единичный вектор нормали:
.
Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .
Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:
Выразим переменную «зет»:
Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:
Получили ответ: поток векторного поля равен 64.
2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем
.
Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:
Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:
Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:
Осталось только сложить все три интеграла:
.
Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.
1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:
.
Длина этого вектора:
,
единичный вектор нормали (орт):
.
Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:
Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода
.
Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:
2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:
.
Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.
Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
Вычисляем третий интеграл:
Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:
.
Пример 3. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону параболоида в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .
Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:
Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
В сумме получаем искомый поток векторного поля:
.
Видео:Математика это не ИсламСкачать
Вычислить поток через треугольник
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
Поэтому формула (4) остается |
справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза.
Пусть S и S2 — те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V и Vj — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями . Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются).
Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1)
Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3.
Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание . При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Ос гроградского.
Пример 4:
Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у — I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
📺 Видео
Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать
Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать
Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 классСкачать
Формула Остроградского-ГауссаСкачать
Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл.Скачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
Циркуляция векторного поля. Вычисление при при помощи криволинейного интеграла.Скачать
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать
Методы вычисления циркуляции векторного поляСкачать
9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать