В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Центральные и вписанные углы

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

О чем эта статья:

Содержание
  1. Центральный угол и вписанный угол
  2. Свойства центральных и вписанных углов
  3. Примеры решения задач
  4. Углы, связанные с окружностью
  5. Вписанные и центральные углы
  6. Теоремы о вписанных и центральных углах
  7. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  8. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  9. Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  10. Вписанный угол на 45 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  11. Центральный угол окружности на 42° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу?
  12. Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  13. Центральный угол больше вписанного угла опирающегося на ту же дугу, на 40 градусов тогда градусная мера вписанного угла будет равна?
  14. Градусная мера центрального угла AOC равна 165 градусов?
  15. Вписанный угол 25 градусов меньше центрального угла опирающегося на ту же дугу окружности найдите градусную меру вписаннго угла?
  16. Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  17. Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  18. Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  19. Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  20. 📽️ Видео

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Геометрия Центральный угол AOC на 25 больше вписанного угла ABC, который опирается на дугу ACСкачать

Геометрия Центральный угол AOC на 25 больше вписанного угла ABC, который опирается на дугу AC

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Углы, связанные с окружностью

В окружности вписан угол 25 опирается на дугуВписанные и центральные углы
В окружности вписан угол 25 опирается на дугуУглы, образованные хордами, касательными и секущими
В окружности вписан угол 25 опирается на дугуДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Вписанный уголВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:2187 Найдите угол cdb если вписанные углы ADB и adc опираются на дугиСкачать

2187 Найдите угол cdb если вписанные углы ADB и adc опираются на дуги

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный касательной и секущейВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВ окружности вписан угол 25 опирается на дугуВ окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
В окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Формула: В окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
В окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Формула: В окружности вписан угол 25 опирается на дугу
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В этом случае справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В этом случае справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:ОГЭ Задание 25 Вписанный уголСкачать

ОГЭ Задание 25 Вписанный угол

Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Геометрия | 5 — 9 классы

Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите градусную мер вписанного угла.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

X — вписаный угол , тогда центральный 2х

по условию 2х — х = 25 тогда х = 25

Ответ вписаный угол 25 град.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанный угол на 45 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Вписанный угол на 45 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите градусную меру вписанного угла.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Центральный угол окружности на 42° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу?

Центральный угол окружности на 42° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Найдите эти углы.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной n-й доли длины окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной n-й доли длины окружности

Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите градусную мер вписанного угла.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:Задание 25 Вписанная и описанная окружностиСкачать

Задание 25 Вписанная и описанная окружности

Центральный угол больше вписанного угла опирающегося на ту же дугу, на 40 градусов тогда градусная мера вписанного угла будет равна?

Центральный угол больше вписанного угла опирающегося на ту же дугу, на 40 градусов тогда градусная мера вписанного угла будет равна.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)

Градусная мера центрального угла AOC равна 165 градусов?

Градусная мера центрального угла AOC равна 165 градусов.

Найдите градусную меру большего из вписанных углов, опирающихся на дугу.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:2163 Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 5/36 окружностиСкачать

2163 Найдите вписанный угол опирающийся на дугу которая составляет 5/36 окружности

Вписанный угол 25 градусов меньше центрального угла опирающегося на ту же дугу окружности найдите градусную меру вписаннго угла?

Вписанный угол 25 градусов меньше центрального угла опирающегося на ту же дугу окружности найдите градусную меру вписаннго угла.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математике

Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Ответ дайте в градусах.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:ОГЭ Задание 25 Угол между секущимиСкачать

ОГЭ Задание 25 Угол между секущими

Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол!

В окружности вписан угол 25 опирается на дугу

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Можно с чертежом, пожалуйста!

Вопрос Вписанный угол на 25 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

📽️ Видео

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе: