Все теоремы треугольников 9 класс

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Вся геометрия за 45 минут | Геометрия 7-9 классыСкачать

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Математика ЕГЭ 2024 профиль. Задание 9. Задачи с прикладным содержаниемСкачать

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:9 класс. Геометрия. Решение треугольниковСкачать

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:9 класс. Геометрия. Решение треугольников. Теорема косинусов. Теорема синусов. Урок #2Скачать

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

• Сумма всех углов треугольника равна 180°:

• Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:🌟 ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 🌟 за 9 класс быстрое ПОВТОРЕНИЕ 📖 ТЕОРЕМЫ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ 🧐 ВЕКТОРЫ 🔴🟧🔹 ПЛОЩАДИСкачать

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Все теоремы треугольников 9 класс

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 2 «Треугольники».

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Но вот, допустим, у каждого из двух треугольников есть две стороны, которые равны 5 см и 6 см, и какой-то из углов равен 50°. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Оказывается, нет. На рисунке вы видите два треугольника с указанными размерами. Они не равны.

При каких же минимальных условиях треугольники будут равны? Существуют по крайней мере три признака равенства треугольников, когда по равенству некоторых сторон и углов можно абсолютно точно сказать, что они равны. Например, если бы угол 50° был образован сторонами длиной 5 см и 6 см, то треугольники были бы равны между собой.

Опорный конспект «Треугольники»

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина напротив этой стороны — вершиной равнобедренного треугольника. Причем названия «основание», «боковые стороны» и «вершина» равнобедренного треугольника сохраняются, как бы треугольник ни был расположен.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• высота треугольника является и медианой;
• высота треугольника является и биссектрисой;
• медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

📽️ Видео

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать