Вписать треугольник в прямоугольник

Прямоугольник в треугольнике

Казалось бы — самый простой случай: в треугольник вписан прямоугольник. Но почему-то нигде не приводятся общие формулы! Только частные численные задачи. Если же рассматривать задачу в общем виде, то появится нечто очень красивое и неожиданное. В основе лежит параметр А, который я бы назвал Параметром Герона. Придумать подобные компактные тождества немыслимо, а произвести расчёты по формулам — раз плюнуть.

Из выражения для длины прямоугольника L, что синей рамочке на рисунке, методом дифференциального исчисления легко находятся уже габариты прямоугольника с наибольшей площадью. Высота такого оптимального элемента Н равна половине высоты треугольника (то есть перпендикуляра, опущенного с вершины В на основание АС). Длина L равна половине основания, то есть b/2. Отсюда ясно, что площадь наибольшего треугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади исходного треугольника АВС. Геометрически построение прямоугольника наибольшей площади элементарное: строится средняя линия треугольника (она параллельна стороне АС) и из точек пересечения с боковыми сторонами опускаются вниз перпендикуляры. Это в геометрии давно известно, но из моих формул всё чётко и наглядно выводится.

Формулы я самостоятельно получил еще в седьмом классе и они часто выручали как при решении примеров, так и в строительстве. Каждый уважающий себя интеллектуал должен содержимое рисунка твёрдо знать! Наряду с числами Марсенна, Марсела, теоремами Экобара, Менелая, Виета, распределениями Гаусса, Релея, Гумбеля, Александрова. И ещё многое из всего в математике — величайшей науке всех цивилизаций.

Содержание
  1. Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»
  2. Главная > Документ
  3. Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?
  4. Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус
  5. Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой
  6. (длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.
  7. Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.
  8. Прямоугольный треугольник
  9. 📽️ Видео

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Теорема 2 (второе правило).

Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х 0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f»(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x 0 )= 0, f»(x 0 )≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;

если f»(x 0 )>0, то f(x 0 )- минимум функции f(x), и

если f»(x 0 ) 0 )- максимум функции f(x).

Положим, что f'(x 0 )=0, f»(x 0 ), пусть x=x 0 +Вписать треугольник в прямоугольникx 0 — точка близкая к x 0 .

Т.к. вторая производная f»(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Таким образом, переменная Вписать треугольник в прямоугольник

стремится к пределу f // (x 0 )≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:

Вписать треугольник в прямоугольник>0 при 0 0 | f / ( x 0 ) при х 0 -Е x x 0 и, следовательно, f / ( x 0 )>0 при х 0 x x 0 +Е.

Мы видим, что производная f / (x) при переходе через точку х 0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.

Аналогично доказываем, что если f / (x 0 )=0 и f // (x 0 ) f ( x 0 )- минимум функции f (х).

Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

Вписать треугольник в прямоугольникешение.

Обозначим высоту KL прямоугольника через х , основание DE через у . Тогда площадь его S=xy . Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.

В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC , учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

или т.к . BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,

то Вписать треугольник в прямоугольнику= Вписать треугольник в прямоугольник

исключая у из выражения для S находим

S = Вписать треугольник в прямоугольник

Ищем максимум для этой функции

S Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

S Вписать треугольник в прямоугольник=0 Вписать треугольник в прямоугольникh -2 x =0 x = Вписать треугольник в прямоугольник

Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь Вписать треугольник в прямоугольник

следовательно, при Вписать треугольник в прямоугольникплощадь S имеет максимум, причем из формулы S = Вписать треугольник в прямоугольникполучаем S max = Вписать треугольник в прямоугольник

Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.

§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:

Найти область определения заданной функции Вписать треугольник в прямоугольник;

Найти производную Вписать треугольник в прямоугольник;

Определить критические точки функции Вписать треугольник в прямоугольник;

Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)

Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.

Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

3)Найдем критические точки:

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

4Вписать треугольник в прямоугольник)

Вписать треугольник в прямоугольник+ — +

Вписать треугольник в прямоугольник1 1

Ответ: функция возрастает на Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Функция убывает на Вписать треугольник в прямоугольник

§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а; b ] рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Найти производную данной функции;

2) Определить критические точки данной функции;

3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;

4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;

5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;

6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.

Пример : Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

Вписать треугольник в прямоугольник+ sin 2 x на (0 ; Вписать треугольник в прямоугольник)

Решение : D ( f )= R

f’ (x) = — Вписать треугольник в прямоугольникcos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-Вписать треугольник в прямоугольник)

Найдем критические точки:

fВписать треугольник в прямоугольник(x)=0 Вписать треугольник в прямоугольникcos x (2 sin x —Вписать треугольник в прямоугольник=0

cos x =0 2sinx — Вписать треугольник в прямоугольник=0

x=Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник2 sin x = Вписать треугольник в прямоугольник

sin x = Вписать треугольник в прямоугольник

Х=(-1)Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник+Вписать треугольник в прямоугольник, kВписать треугольник в прямоугольник.

На промежутке (0;Вписать треугольник в прямоугольник) лежит лишь одна критическая точка x =Вписать треугольник в прямоугольник.

Вычислим значение функции в точке х=Вписать треугольник в прямоугольник.

f( Вписать треугольник в прямоугольник)=1-Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник+Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник=Вписать треугольник в прямоугольник=0,5.

Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:

f (Вписать треугольник в прямоугольник)=1-Вписать треугольник в прямоугольник1+1=2-Вписать треугольник в прямоугольник=0,586

Из трех значений f (0)=1;

f (Вписать треугольник в прямоугольник)=0,586;

f ( Вписать треугольник в прямоугольник)=0,5.

Выбираем наименьшее и наибольшее значение

Ответ: min f ( x )= f ( Вписать треугольник в прямоугольник)=0,5;

Вписать треугольник в прямоугольник.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2xВписать треугольник в прямоугольник-3xВписать треугольник в прямоугольник+4

на промежутке: а)Вписать треугольник в прямоугольник;

б)Вписать треугольник в прямоугольник

Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6xВписать треугольник в прямоугольник-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.

а) В промежутке Вписать треугольник в прямоугольниклежит одна из критических точек: x=-1 .

т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции

y(x)=-2xВписать треугольник в прямоугольник-3xВписать треугольник в прямоугольник+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее

в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:

б) В промежутке Вписать треугольник в прямоугольникданная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке Вписать треугольник в прямоугольникфункция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.

Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.

Найти наименьшую длину таких отрезков.

РВписать треугольник в прямоугольникешение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у

МВписать треугольник в прямоугольникАВ, МD=8, МС=1 Вписать треугольник в прямоугольник

Исходя из того, что

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

у= Вписать треугольник в прямоугольник

т.к. Вписать треугольник в прямоугольникАВО прямоугольный, то Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Найдём наименьшее значение функции Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникпри х>1

2) Для этого найдём производную

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

3. Найдём критические точки:

Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольникх=5

Вписать треугольник в прямоугольник

т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.

4. Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник. 5. A В= Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольник

Ответ: 5Вписать треугольник в прямоугольник.

Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?

Вписать треугольник в прямоугольникпусть Вписать треугольник в прямоугольник— центральный угол сектора

r -радиус основания конуса Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник— L осн.кон.=2Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

ИзВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникАОО 1 h = Вписать треугольник в прямоугольник= R Вписать треугольник в прямоугольник

V = Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Найдем наибольшее значение функции Вписать треугольник в прямоугольникy = Вписать треугольник в прямоугольникот Вписать треугольник в прямоугольник:

y 2 Вписать треугольник в прямоугольник=Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

y 1 = Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Ответ: Наибольший объем равен Вписать треугольник в прямоугольник.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?

РВписать треугольник в прямоугольникешение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.

x (м) — длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),

тогда f ( x )= 10 x +8*2*90/ x = 10 x +1440/ x

2) D (f) =(0; + Вписать треугольник в прямоугольник)

3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x 2 =

10-1440/ x =10( x 2 -144)/ x 2

4) Найдём критические точки:

f ’ ( x )= 0 10( x 2 -144)/ x 2 =0

D ( f )= (0; + Вписать треугольник в прямоугольник)

В точке x = 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.

5) м in f (12) =10*12+1440/12=120+120=240

(0;+Вписать треугольник в прямоугольник)

Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м

Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.

Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Пусть радиус круга — R , BD =х,

Вписать треугольник в прямоугольниктогда О D= х- R

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

если каждая сторона будет равна Вписать треугольник в прямоугольник, то площадь будет наименьшей.

На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.

Решение: S ПОЛН. = 2 ab + 2 ac +2 bc =2( ab + ac + bc )=108

аb-54= — ac-bc Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник54- ab =с(а+ b )

а с=Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

Пусть а=х, x Вписать треугольник в прямоугольник(0;+ Вписать треугольник в прямоугольник), тогда b =2 x , c = Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

V=a b c= x 2x Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольникx (54-2Вписать треугольник в прямоугольник) =Вписать треугольник в прямоугольникx (27-Вписать треугольник в прямоугольник)

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник)Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник)Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник) — Вписать треугольник в прямоугольникx 2x =

=36- Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник=36-4 x Вписать треугольник в прямоугольник

V / ( x )=0 36-4 x Вписать треугольник в прямоугольник=0

Вписать треугольник в прямоугольник=9

Вписать треугольник в прямоугольник=3

Вписать треугольник в прямоугольник=-3 Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

a =3дм , b =6дм, с= Вписать треугольник в прямоугольник

Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конусВписать треугольник в прямоугольник

РВписать треугольник в прямоугольникешение:

Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R .

Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус

основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим ВМ= x . Тогда Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

Объём цилиндра Вписать треугольник в прямоугольник.

В нашем случае Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.

Найдём производную V 1 (x) .

Вписать треугольник в прямоугольник

V 1 ( x )=0 при x = Вписать треугольник в прямоугольник

При х  Вписать треугольник в прямоугольникV 1 ( x )  0 и V 1 ( x )  0 при х  Вписать треугольник в прямоугольник

Следовательно, в точке х= Вписать треугольник в прямоугольникфункция V (х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R , причём V (0)=0 , то число

V( Вписать треугольник в прямоугольник)= Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникR 2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.

Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L .

РВписать треугольник в прямоугольникешение.

площадь основания которого равна S ,

а высота- Н , вычисляется по формуле Вписать треугольник в прямоугольник,

где Вписать треугольник в прямоугольник2 ,

R — радиус окружности, лежащей в основании конуса.

По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R 2 +H 2 =L 2 .

Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н

Вписать треугольник в прямоугольник

Решая уравнения Вписать треугольник в прямоугольникнаходим две критические точки функции V(H): H 1 + Вписать треугольник в прямоугольникH 2=- Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник

Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н 1 функция V / (H) =Вписать треугольник в прямоугольник(Вписать треугольник в прямоугольникLВписать треугольник в прямоугольник-3H 2 ) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,Вписать треугольник в прямоугольник) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (Вписать треугольник в прямоугольник; L)убывает.

Таким образом Н=Вписать треугольник в прямоугольник— высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой


Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

(длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.

РВписать треугольник в прямоугольникассмотрим отдельно два случая.

Первый — вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD .

Второй — вершина P лежит на основании трапеции ВС .

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y .

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL , параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD .

Катеты этих треугольников равны соответственно

| AB |=8, | AL |=4, | QD |=10- x , | PQ |= y .

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD :

Вписать треугольник в прямоугольникили y =20-2 x .

Площадь прямоугольника AKPQ равна S ( x )= x (20-2 x ).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q — проекция точки P , лежащий на стороне С D , cледовательно, хВписать треугольник в прямоугольник6 .

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S ( x ) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S ( x ): x =5 не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S ( x ) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S ( x ) в произвольной точке промежутка [6;10] , убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S ( x ) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S ( x )= S (6)=48см 2

x Вписать треугольник в прямоугольник[6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см 2 , т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см , длины их оснований не могут быть больше 6см .

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение . Пусть АВС D — данный квадрат, О — его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ , выразим объем пирамиды как функцию x .

Получим: Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Следовательно, Вписать треугольник в прямоугольник

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией Вписать треугольник в прямоугольник.

Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник Вписать треугольник в прямоугольник0 Вписать треугольник в прямоугольник

Имеем, V(0)=V(Вписать треугольник в прямоугольник=0

V(Вписать треугольник в прямоугольник>0

следовательно, при х= Вписать треугольник в прямоугольникфункция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна Вписать треугольник в прямоугольниксторона квадрата.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Вписать треугольник в прямоугольникРешение:

ПВписать треугольник в прямоугольникусть АВС=Вписать треугольник в прямоугольник, тогда по теореме синусов имеем АВ=2Вписать треугольник в прямоугольникsinВписать треугольник в прямоугольник.Далее из АDC СD = АD ctg Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольникsinВписать треугольник в прямоугольникctg Вписать треугольник в прямоугольник= a sin a Вписать треугольник в прямоугольник= a ( 1 + cos a ) .

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0Вписать треугольник в прямоугольник) :

S ( a) = Вписать треугольник в прямоугольник= Вписать треугольник в прямоугольникsin a ( 1+ cos a ) = Вписать треугольник в прямоугольник( sin a + 0,5 sin 2a ).

S` = Вписать треугольник в прямоугольник( cos a + cos 2a ) = Вписать треугольник в прямоугольник( 2cos 2 a + cos a – 1) =

= a 2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).

Т.к cos + 1> 0 ( Вписать треугольник в прямоугольник( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда Вписать треугольник в прямоугольник.

Если 0 0, т.е S (a) возрастает на

( 0; Вписать треугольник в прямоугольник]. Если Вписать треугольник в прямоугольникЗадача № 11.

Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

ОВписать треугольник в прямоугольникбозначим длину одной из сторон прямоугольника через x , тогда длина другой стороны равна Вписать треугольник в прямоугольник.

Заметим, что 0 x R , т.к. x -длина хорды окружности радиуса R , отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника Вписать треугольник в прямоугольник.

Hайдем наибольшее значение функции S ( x ) на

Имеем S ’( x )=0 , т.е. Вписать треугольник в прямоугольник4 R 2 -2 x 2 =0, откуда x 1 =RВписать треугольник в прямоугольники x 2 =-RВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольникВписать треугольник в прямоугольник

Значит, надо сравнить значение функции при x = R Вписать треугольник в прямоугольники на концах отрезка x =0 и x =2 R .

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(RВписать треугольник в прямоугольник)=2R 2 , то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=RВписать треугольник в прямоугольник. Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается Вписать треугольник в прямоугольник
в точке x= RВписать треугольник в прямоугольник.

При этом длина другой стороны прямоугольника равна Вписать треугольник в прямоугольник, то есть искомым прямоугольником служит квадрат.

Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет Вписать треугольник в прямоугольник

Диагональ прямоугольника — переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у 2 =х 2 +(а-х) 2 ,

или у 2 =2х 2 -2ах+а 2 , откуда у=Вписать треугольник в прямоугольник, где 0 0, если х>Вписать треугольник в прямоугольник.

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= Вписать треугольник в прямоугольникимеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:

Необходимый признак возрастания и убывания функции.

Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».

Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.

Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.

Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989

2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984

4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990

5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991

6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .

7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Вписать треугольник в прямоугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Вписать треугольник в прямоугольник

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Вписать треугольник в прямоугольникЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Вписать треугольник в прямоугольник

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Вписать треугольник в прямоугольник

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Вписать треугольник в прямоугольник

3. Теорема Пифагора:

Вписать треугольник в прямоугольник, где Вписать треугольник в прямоугольник– катеты, Вписать треугольник в прямоугольник– гипотенуза. Видеодоказательство

Вписать треугольник в прямоугольник

4. Площадь Вписать треугольник в прямоугольникпрямоугольного треугольника с катетами Вписать треугольник в прямоугольник:

Вписать треугольник в прямоугольник

5. Высота Вписать треугольник в прямоугольникпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Вписать треугольник в прямоугольники гипотенузу Вписать треугольник в прямоугольникследующим образом:

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Вписать треугольник в прямоугольник

7. Радиус Вписать треугольник в прямоугольникописанной окружности есть половина гипотенузы Вписать треугольник в прямоугольник:

Вписать треугольник в прямоугольник

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Вписать треугольник в прямоугольниквписанной окружности выражается через катеты Вписать треугольник в прямоугольники гипотенузу Вписать треугольник в прямоугольникследующим образом:

Вписать треугольник в прямоугольник

Вписать треугольник в прямоугольник

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

📽️ Видео

№448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороныСкачать

№448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны

Из треугольника прямоугольник.#ShortsСкачать

Из треугольника  прямоугольник.#Shorts

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Построение пятиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулем

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

№445. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренныйСкачать

№445. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Как поместить изображение в фигуру/круг/квадрат в иллюстраторе с помощью маски?Скачать

Как поместить изображение в фигуру/круг/квадрат в иллюстраторе с помощью маски?

Как построить квадрат, два способаСкачать

Как построить квадрат, два способа
Поделиться или сохранить к себе: